Solutions des exercices
35
On a à présent :
s
T
2
− t
= −s(t)
Cette propriété nous pousse à décomposer l’expression de An précédemment trouvée et à y procéder au changement de
variable :
t →
T
2
− t
Soit :
An =
2
T
T/4
0
s(t) cos nvt dt +
2
T
T/2
T/4
s(t) cos nvt dt
An =
2
T
T/4
0
s(t) cos nvt dt +
2
T
0
T/4
s
T
2
− t
cos nv
T
2
− t
d
T
2
− t
An =
2
T
T/4
0
s(t) cos nvt dt −
2
T
T/4
0
s(t) cos nv
T
2
− t
dt
An =
2
T
T/4
0
s(t) cos nvt dt −
2
T
T/4
0
s(t) cos
nvT
2
− nvt
dt
Or :
cos
nvT
2
− nvt
= cos (np − nvt)
Si n est pair, on a :
cos (np − nvt) = cos nvt
et si n est impair, on a :
cos (np − nvt) = − cos nvt
Par conséquent, si n est pair, on a :
A n =
2
T
T/4
0
s(t) cos nvt dt −
2
T
T/4
0
s(t) cos nvt dt = 0
et pour n impair, on a :
An =
2
T
T/4
0
s(t) cos nvt dt +
2
T
T/4
0
s(t) cos nvt dt =
4
T
T/4
0
s(t) cos nvt dt
2.2 Le signal carré possède les propriétés de symétrie étudiées dans l’exercice 2.1. Par conséquent, nous pouvons
écrire :
pour n pair,
An = 0
et pour n impair,
An =
4
T
T/4
0
s(t) cos nvt dt =
4
T
T/4
0
A cos nvt dt
Calculons cette expression dans le cas n impair :
An =
4A
T
T/4
0
cos nvt dt =
4A
T
sin nvt
nv
T/4
0
=
4A
T
sin
nvT/4
nv
− 0
Soit :
An =
4A
nTv
sin
np/2
=
2A
pn
(−1)
n−1
2
Calculons les premiers termes de cette série et représentons le spectre (figure 2.17).