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2 • Modélisation fréquentielle des signaux temporels. Notion de spectre
2.8 Vérification de l’égalité de Parseval
On considère la fonction s(t) représenté sur la figure 2.15 et défini par :
s(t) = 0 pour t < 0,
s(t) = e
−at pour t 0 avec a > 0.
Figure 2.15 Représentation temporelle du signal.
Calculer l’énergie totale de ce signal à partir de son expression temporelle et vérifier l’égalité de Parseval
en calculant cette même énergie à partir de l’expression de sa transformée de Fourier.
SOLUTIONS
2.1 Si le signal périodique est pair, on a : s(−t) = s(t).
An =
1
T
T/2
−T/2
s(t) e
− jnvt dt =
1
T
0
−T/2
s(t) e
− jnvt dt +
1
T
T/2
0
s(t) e
− jnvt dt
Effectuons, dans la première intégrale, le changement de variable t → −t :
An =
1
T
0
T/2
s(−t) e
jnvt d(−t) +
1
T
T/2
0
s(t) e
− jnvt dt
d’où :
An =
1
T
T/2
0
s(t) e
jnvt dt +
1
T
T/2
0
s(t) e
− jnvt dt
Soit :
An =
1
T
T/2
0
s(t)
e
jnvt + e
− jnvt
dt =
2
T
T/2
0
s(t) cos nvt dt
Supposons que le signal possède de surcroît une symétrie par rapport à un point correspondant au quart de période
(figure 2.16).
Figure 2.16 Signal à symétrie par rapport au quart de période.