Exercices
31
On reconnaît alors, dans l’intégrale située entre les crochets, l’expression de la tranformée de Fourier de
s(t), au signe près dans l’exponentiel. Cette intégrale n’est donc rien d’autre que S(−f ) :
E =
+∞
−∞
[S( f ) · S(−f )] df
d’où :
E =
+∞
−∞
|S( f )|
2 df
On a donc :
E =
+∞
−∞
s
2 (t) dt =
+∞
−∞
|S( f )|
2 df
Ce résultat, connu sous le nom d’égalité de Parseval, nous montre la dualité entre la représentation temporelle et la représentation spectrale. L’énergie totale d’un signal peut se déterminer quelle que soit la
représentation choisie, avec la même expression : on intègre soit le carré de l’expression temporelle du
signal, soit le carré de son spectre.
2.3.6 Calcul d’une transformée de Fourier à l’aide de Mathematica
Le logiciel Mathematica peut calculer immédiatement la transformée de Fourier d’un signal quelconque.
La commande utilisée est : FourierTransform[f(t),t, v]. Toutefois, Mathematica peut utiliser différentes
définitions de la transformée de Fourier et à cet effet, doit être paramétré. Sans rentrer dans les détails,
nous utiliserons une forme paramétrée de la commande FourierTransform qui correspond exactement à la
définition mathématique que nous utilisons. En reprenant l’exemple du paragraphe 2.3.3, on écrira :
FourierTransform
UnitStep[t] × e
−t ,t, v,FourierParameters → {1, −1}
Le résultat obtenu est : −
j
−j + v
.
EXERCICES
2.1 Décomposition en série de Fourier d’un signal à symétries paire et impaire
Soit un signal périodique s(t) (période T) et sa décomposition en série de Fourier :
s(t) =
+∞
n=−∞
A n e
jnvt avec v =
2p
T
Montrer que si s(t) est pair, on a : A n =
2
T
T/2
0
s(t) cos nvt dt
Montrer que si, de surcroît, s(t) possède un centre de symétrie pour t =
T
4
+ k
T
2
, on a alors : A n = 0 pour n
pair et A n =
4
T
T/4
0
s(t) cos nvt dt pour n impair.
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On reconnaît alors, dans l’intégrale située entre les crochets, l’expression de la tranformée de Fourier de
s(t), au signe près dans l’exponentiel. Cette intégrale n’est donc rien d’autre que S(−f ) :
E =
+∞
−∞
[S( f ) · S(−f )] df
d’où :
E =
+∞
−∞
|S( f )|
2 df
On a donc :
E =
+∞
−∞
s
2 (t) dt =
+∞
−∞
|S( f )|
2 df
Ce résultat, connu sous le nom d’égalité de Parseval, nous montre la dualité entre la représentation temporelle et la représentation spectrale. L’énergie totale d’un signal peut se déterminer quelle que soit la
représentation choisie, avec la même expression : on intègre soit le carré de l’expression temporelle du
signal, soit le carré de son spectre.
2.3.6 Calcul d’une transformée de Fourier à l’aide de Mathematica
Le logiciel Mathematica peut calculer immédiatement la transformée de Fourier d’un signal quelconque.
La commande utilisée est : FourierTransform[f(t),t, v]. Toutefois, Mathematica peut utiliser différentes
définitions de la transformée de Fourier et à cet effet, doit être paramétré. Sans rentrer dans les détails,
nous utiliserons une forme paramétrée de la commande FourierTransform qui correspond exactement à la
définition mathématique que nous utilisons. En reprenant l’exemple du paragraphe 2.3.3, on écrira :
FourierTransform
UnitStep[t] × e
−t ,t, v,FourierParameters → {1, −1}
Le résultat obtenu est : −
j
−j + v
.
EXERCICES
2.1 Décomposition en série de Fourier d’un signal à symétries paire et impaire
Soit un signal périodique s(t) (période T) et sa décomposition en série de Fourier :
s(t) =
+∞
n=−∞
A n e
jnvt avec v =
2p
T
Montrer que si s(t) est pair, on a : A n =
2
T
T/2
0
s(t) cos nvt dt
Montrer que si, de surcroît, s(t) possède un centre de symétrie pour t =
T
4
+ k
T
2
, on a alors : A n = 0 pour n
pair et A n =
4
T
T/4
0
s(t) cos nvt dt pour n impair.