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2 • Modélisation fréquentielle des signaux temporels. Notion de spectre
Un tel signal possède aussi une transformée de Laplace :
S( p) =
+∞
0
s(t) e
− pt dt
Il apparaît que la transformée de Laplace et celle de Fourier possède un rapport évident : la transformée de
Fourier peut être perçue comme le cas particulier p = jv de la transformée de Laplace. (NDLA : c’est un
peu réducteur, historiquement faux et simplifié, mais c’est plus parlant.)
Il résulte de cette constatation, qu’il est aisé de calculer la transformée de Fourier d’un signal à énergie
finie en remplaçant tout simplement p par jv dans sa transformée de Laplace. Pour le calcul de la transformée de Fourier de s(t) = e
−t (pour t 0), un rapide coup d’œil sur la table de transformées de Laplace
nous aurait montré que S( p) =
1
p + 1
.
L’expression S( f ) =
1
jv + 1
=
1
j2pf + 1
est donc imédiatement trouvée.
Remarque : Pour cette raison, on note souvent la transformée de Fourier d’un signal, indifféremment
S( f ) ou S( jv).
Attention : On ne peut faire p = jv et trouver la transformée de Fourier d’un signal à partir de sa
transformée de Laplace que si le signal est à énergie finie.
Un certain nombre de propriétés de la transformée de Fourier se déduisent donc de celles de la transformée de Laplace. La transformation de Fourier est donc une opération linéaire et la transformée de Fourier
de la dérivée ou d’une primitive d’un signal se calculent de la manière suivante :
s(t) → S( jv) ⇒
ds
dt
→ jvS( jv) et
s(t) dt →
S( jv)
jv
2.3.5 Égalité de Parseval
L’énergie totale d’un signal s(t) à énergie finie est définie par :
E =
+∞
−∞
s
2 (t) dt =
+∞
−∞
s(t) · s(t) dt
Remplaçons dans cette intégrale un terme s(t) par son expression en fonction de sa transformée de Fourier :
E =
+∞
−∞
s(t) ·
+∞
−∞
S( f ) e
jvt df
dt
Les deux intégrations étant indépendantes, on peut permuter leur ordre :
E =
+∞
−∞
S( f ) ·
+∞
−∞
s(t) e
jvt dt
df