2.3 Cas des signaux non périodiques à énergie finie
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2.3.3 Exemple de calcul du spectre d’un signal non périodique
à énergie finie
Soit s(t) un signal nul pour t < 0 et défini par s(t) = e
−t pour t 0 (figure 2.7).
Figure 2.7 Représentation temporelle d’un signal.
Nous pouvons sans peine vérifier que le signal est à énergie finie :
+∞
−∞
s
2 (t) dt =
+∞
0
e
−2t dt =
e
−2t
−2
+∞
0
=
1
2
La définition de la transformée de Fourier s’applique donc :
S( f ) =
+∞
−∞
s(t) e
− jvt dt =
+∞
0
e
−t e
− jvt dt =
+∞
0
e
−( jv+1)t dt
S( f ) =
e
−( jv+1)t
−( jv + 1)
+∞
0
=
1
1 + jv
=
1
1 + j2pf
D’où :
|S( f )| =
1
1 + j2pf
=
1
1 + 4p 2 f 2
La figure 2.8 présente ce spectre.
1
Figure 2.8 Spectre du signal.
2.3.4 Relation entre la transformée de Fourier et la transformée
de Laplace
Pour un signal non périodique à énergie finie et nul pour t < 0, on a :
S( f ) =
+∞
0
s(t) e
− jvt dt