28
2 • Modélisation fréquentielle des signaux temporels. Notion de spectre
À titre d’exemple, la ligne suivante calcule la décomposition à l’ordre 5 de la fonction périodique définie
par f (t) = t sur l’intervalle [−p ; p]
FourierSeries [t,t,n]
Résultat :
1
2
ie
−it
−
1
2
ie
it
−
1
4
ie
−2it +
1
2
ie
2it +
1
6
ie
−3it
−
1
6
ie
3it
−
1
8
ie
−4it +
1
8
ie
4it +
1
10
ie
−5it
−
1
10
ie
5it
2.3
CAS DES SIGNAUX NON PÉRIODIQUES À ÉNERGIE FINIE
2.3.1 Définition
Un signal non périodique à énergie finie est un signal non périodique quelconque tel que l’intégrale généralisée
+∞
−∞
s
2 (t) dt converge vers une valeur finie. Les résultats qui suivent ne s’appliquent qu’à ce type de
signaux. Dans la pratique, il s’agit de signaux transitoires, possédant un début et une fin, ou tout du moins
décroissant suffisamment rapidement pour faire converger l’intégrale
+∞
−∞
s
2 (t) dt.
2.3.2 Transformée de Fourier et spectre des signaux non périodiques à
énergie finie
On définit la transformée de Fourier d’un signal non périodique à énergie finie par :
S( f ) =
+∞
−∞
s(t) e
− j2p ft dt
Il s’agit d’une fonction complexe de la variable réelle f. Pour des raisons de rapidité d’écriture, on note
parfois :
S( f ) =
+∞
−∞
s(t) e
− jvt dt avec v = 2pf
La transformée de Fourier inverse a pour expression :
s(t) =
+∞
−∞
S( f ) e
jvt dt
Joseph Fourier a étudié les propriétés de cette transformation mathématique et a démontré qu’elle correspondait à la représentation fréquentielle d’un signal quelconque, non périodique, du moment qu’il est à
énergie finie. Le spectre d’un tel signal est donné par la fonction |S( f )| et est continu, ce qui revient à dire
(et cela rapproche cette notion du spectre discontinu pour les signaux périodiques) qu’un signal quelconque
à énergie finie se décompose en une somme de sinusoïdes de toutes fréquences.
L’une des propriétés essentielles de la transformée de Fourier est : S(−f ) = S
∗ ( f ) (S
∗ correspondant au
conjugué de S). Il en découle que |S( f )| = |S(−f )| et que le spectre d’un signal quelconque est symétrique
par rapport à l’axe des ordonnées.
Remarque : Pour un signal possédant un début t 1 et une fin t 2 , la transformée de Fourier se calcule
évidemment en intégrant entre les deux instants, de début et de fin, du signal :
S( f ) =
t2
t1
s(t) e
− jvt dt
2 • Modélisation fréquentielle des signaux temporels. Notion de spectre
À titre d’exemple, la ligne suivante calcule la décomposition à l’ordre 5 de la fonction périodique définie
par f (t) = t sur l’intervalle [−p ; p]
FourierSeries [t,t,n]
Résultat :
1
2
ie
−it
−
1
2
ie
it
−
1
4
ie
−2it +
1
2
ie
2it +
1
6
ie
−3it
−
1
6
ie
3it
−
1
8
ie
−4it +
1
8
ie
4it +
1
10
ie
−5it
−
1
10
ie
5it
2.3
CAS DES SIGNAUX NON PÉRIODIQUES À ÉNERGIE FINIE
2.3.1 Définition
Un signal non périodique à énergie finie est un signal non périodique quelconque tel que l’intégrale généralisée
+∞
−∞
s
2 (t) dt converge vers une valeur finie. Les résultats qui suivent ne s’appliquent qu’à ce type de
signaux. Dans la pratique, il s’agit de signaux transitoires, possédant un début et une fin, ou tout du moins
décroissant suffisamment rapidement pour faire converger l’intégrale
+∞
−∞
s
2 (t) dt.
2.3.2 Transformée de Fourier et spectre des signaux non périodiques à
énergie finie
On définit la transformée de Fourier d’un signal non périodique à énergie finie par :
S( f ) =
+∞
−∞
s(t) e
− j2p ft dt
Il s’agit d’une fonction complexe de la variable réelle f. Pour des raisons de rapidité d’écriture, on note
parfois :
S( f ) =
+∞
−∞
s(t) e
− jvt dt avec v = 2pf
La transformée de Fourier inverse a pour expression :
s(t) =
+∞
−∞
S( f ) e
jvt dt
Joseph Fourier a étudié les propriétés de cette transformation mathématique et a démontré qu’elle correspondait à la représentation fréquentielle d’un signal quelconque, non périodique, du moment qu’il est à
énergie finie. Le spectre d’un tel signal est donné par la fonction |S( f )| et est continu, ce qui revient à dire
(et cela rapproche cette notion du spectre discontinu pour les signaux périodiques) qu’un signal quelconque
à énergie finie se décompose en une somme de sinusoïdes de toutes fréquences.
L’une des propriétés essentielles de la transformée de Fourier est : S(−f ) = S
∗ ( f ) (S
∗ correspondant au
conjugué de S). Il en découle que |S( f )| = |S(−f )| et que le spectre d’un signal quelconque est symétrique
par rapport à l’axe des ordonnées.
Remarque : Pour un signal possédant un début t 1 et une fin t 2 , la transformée de Fourier se calcule
évidemment en intégrant entre les deux instants, de début et de fin, du signal :
S( f ) =
t2
t1
s(t) e
− jvt dt