2.2 Cas des signaux périodiques
27
Or v 0 T = 2p, d’où :
A n =
A
T 2
T e
− jn2p
−jnv 0
−
A
T 2
e
− jn2p
−n 2 v
2
0
−
1
−n 2 v
2
0
et e
− jn2p = 1, donc :
A n =
A
T 2
T
−jnv 0
−
A
T 2
1
−n 2 v
2
0
−
1
−n 2 v
2
0
=
A
T 2
T
−jnv 0
A n =
A
−jnv 0 T
= j
A
2pn
On a donc : A n = j
A
2pn
⇒ |A n | =
A
2pn
pour n = 0.
La valeur moyenne se calcule ou se remarque de manière évidente sur le graphe de la figure 2.5 :
A 0 =
A
2
et il suffit de porter l’ensemble des informations sur le graphe de la figure 2.6 pour disposer du
spectre recherché.
Figure 2.6 Spectre du signal en dents de scie.
2.2.3 Décomposition en série de Fourier à l’aide de Mathematica
Les outils de calcul formel disposent de fonctions spécifiquement adaptées au calcul des séries de Fourier.
À titre d’exemple, nous retiendrons trois fonctions de Mathematica particulièrement intéressantes.
La fonction f (t) étant définie sur une période de durée 2p, on accède à l’expression des coefficients C n
et S n par les commandes FourierCosCoefficient[f(t),t,n ] et FourierSinCoefficient[f(t),t,n ], respectivement.
Ainsi, la décomposition en série de Fourier d’un signal en dents de scie défini par f (t) = t sur l’intervalle
[−p ; p] est obtenue immédiatement en écrivant :
FourierCosCoefficient [t,t,n]
Résultat :
2
−1 + (−1)
n
n 2 p
FourierSinCoefficient [t,t,n]
Résultat : −
2 (−1)
n
n
Par ailleurs, la commande FourierSeries[f(t),t,n ] fournit l’expression complète de la série de Fourier, exprimée sous forme exponentielle à l’ordre n.
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Or v 0 T = 2p, d’où :
A n =
A
T 2
T e
− jn2p
−jnv 0
−
A
T 2
e
− jn2p
−n 2 v
2
0
−
1
−n 2 v
2
0
et e
− jn2p = 1, donc :
A n =
A
T 2
T
−jnv 0
−
A
T 2
1
−n 2 v
2
0
−
1
−n 2 v
2
0
=
A
T 2
T
−jnv 0
A n =
A
−jnv 0 T
= j
A
2pn
On a donc : A n = j
A
2pn
⇒ |A n | =
A
2pn
pour n = 0.
La valeur moyenne se calcule ou se remarque de manière évidente sur le graphe de la figure 2.5 :
A 0 =
A
2
et il suffit de porter l’ensemble des informations sur le graphe de la figure 2.6 pour disposer du
spectre recherché.
Figure 2.6 Spectre du signal en dents de scie.
2.2.3 Décomposition en série de Fourier à l’aide de Mathematica
Les outils de calcul formel disposent de fonctions spécifiquement adaptées au calcul des séries de Fourier.
À titre d’exemple, nous retiendrons trois fonctions de Mathematica particulièrement intéressantes.
La fonction f (t) étant définie sur une période de durée 2p, on accède à l’expression des coefficients C n
et S n par les commandes FourierCosCoefficient[f(t),t,n ] et FourierSinCoefficient[f(t),t,n ], respectivement.
Ainsi, la décomposition en série de Fourier d’un signal en dents de scie défini par f (t) = t sur l’intervalle
[−p ; p] est obtenue immédiatement en écrivant :
FourierCosCoefficient [t,t,n]
Résultat :
2
−1 + (−1)
n
n 2 p
FourierSinCoefficient [t,t,n]
Résultat : −
2 (−1)
n
n
Par ailleurs, la commande FourierSeries[f(t),t,n ] fournit l’expression complète de la série de Fourier, exprimée sous forme exponentielle à l’ordre n.