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2 • Modélisation fréquentielle des signaux temporels. Notion de spectre
Remarque : Si le signal périodique possède une composante continue, autrement dit une valeur
moyenne non nulle, il s’agit évidemment de :
A 0 =
1
T
T
0
s(t) dt
que l’on trace, sur le spectre, à la fréquence nulle (voir figure 2.4).
2.2.2 Exemple de calcul d’un spectre : signal en dents de scie
On considère un signal s(t) en dents de scie, de période T (figure 2.5).
Soit v 0 = 2pf 0 =
2p
T
.
Notre objectif est de tracer son spectre. Il nous faut donc calculer sa décomposition en série de Fourier,
c’est-à-dire calculer la suite des A n , puis tracer les |A n | en fonction de la fréquence.
Figure 2.5 Représentation temporelle d’un signal en dents de scie.
On a :
s(t) =
+∞
n=−∞
A n e
jnv0t avec A n =
1
T
T
0
s(t) e
− jnv0t dt
Soit :
A n =
1
T
T
0
At
T
e
− jnv0t dt
Intégrons cette expression par parties :
A n =
A
T 2
T
0
t e
− jnv0t dt =
A
T 2
T
0
u dv =
A
T 2 [uv ]
T
0 −
A
T 2
T
0
v du
avec u = t, donc du = dt
et dv = e
− jnv0t dt donc v =
e
− jnv0t
−jnv 0
.
Attention : n = 0.
A n =
A
T 2
t e
− jnv0t
−jnv 0
T
0
−
A
T 2
T
0
e
− jnv0t
−jnv 0
dt
A n =
A
T 2
T e
− jnv0T
−jnv 0
− 0
−
A
T 2
e
− jnv0t
−n 2 v
2
0
T
0
A n =
A
T 2
T e
− jnv0T
−jnv 0
−
A
T 2
e
− jnv0T
−n 2 v
2
0
−
1
−n 2 v
2
0