2.2 Cas des signaux périodiques
25
Remarque : Pourquoi avoir choisi une telle base de décomposition ? Pour une raison très simple : le
mathématicien français Joseph Fourier a démontré que presque tous les signaux pouvaient se décomposer en une somme de signaux de ce type.
À partir de maintenant, nous n’envisagerons plus aucun spectre sans qu’il ne corresponde à une décomposition selon une base de fonctions élémentaires e
jvt = e
j2p ft .
2.2
CAS DES SIGNAUX PÉRIODIQUES
2.2.1 Décomposition en série de Fourier
Joseph Fourier a démontré que tout signal périodique de période T (donc de fréquence f 0 =
1
T
, ou encore
de pulsation v 0 = 2pf 0 =
2p
T
) possédait une décomposition en une somme finie ou infinie de sinusoïdes
dont les fréquences sont des multiples de la fréquence f 0 (dite fondamentale) du signal.
On démontre en effet que si s(t) est périodique :
s(t) = C 0 +
+∞
n=1
C n cos nv 0 t +
+∞
n=1
S n sin nv 0 t
Cet énoncé de la décomposition en série de Fourier se traduit également dans la base de fonctions élémentaires e
jvt = e
j2p ft qui nous sert à présent de référence :
s(t) =
+∞
n=−∞
A n e
jnv0t
avec :
A n =
1
T
T
0
s(t) e
− jnv0t dt.
On trace alors le spectre d’un signal périodique quelconque en reportant, dans le graphe amplitude - fréquence, les modules des coefficients A n qui sont, en général, complexes, en fonction des fréquences nf 0
(figure 2.4). Les deux raies correspondant à n = 1 ou n = −1 sont appelées composantes ou raies fondamentales du signal. Les autres sont ses harmoniques.
Figure 2.4 Spectre d’un signal périodique.
D’une manière générale, on a |A n | = |A −n | ce qui se traduit par la symétrie du spectre par rapport à
l’axe des ordonnées.
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Remarque : Pourquoi avoir choisi une telle base de décomposition ? Pour une raison très simple : le
mathématicien français Joseph Fourier a démontré que presque tous les signaux pouvaient se décomposer en une somme de signaux de ce type.
À partir de maintenant, nous n’envisagerons plus aucun spectre sans qu’il ne corresponde à une décomposition selon une base de fonctions élémentaires e
jvt = e
j2p ft .
2.2
CAS DES SIGNAUX PÉRIODIQUES
2.2.1 Décomposition en série de Fourier
Joseph Fourier a démontré que tout signal périodique de période T (donc de fréquence f 0 =
1
T
, ou encore
de pulsation v 0 = 2pf 0 =
2p
T
) possédait une décomposition en une somme finie ou infinie de sinusoïdes
dont les fréquences sont des multiples de la fréquence f 0 (dite fondamentale) du signal.
On démontre en effet que si s(t) est périodique :
s(t) = C 0 +
+∞
n=1
C n cos nv 0 t +
+∞
n=1
S n sin nv 0 t
Cet énoncé de la décomposition en série de Fourier se traduit également dans la base de fonctions élémentaires e
jvt = e
j2p ft qui nous sert à présent de référence :
s(t) =
+∞
n=−∞
A n e
jnv0t
avec :
A n =
1
T
T
0
s(t) e
− jnv0t dt.
On trace alors le spectre d’un signal périodique quelconque en reportant, dans le graphe amplitude - fréquence, les modules des coefficients A n qui sont, en général, complexes, en fonction des fréquences nf 0
(figure 2.4). Les deux raies correspondant à n = 1 ou n = −1 sont appelées composantes ou raies fondamentales du signal. Les autres sont ses harmoniques.
Figure 2.4 Spectre d’un signal périodique.
D’une manière générale, on a |A n | = |A −n | ce qui se traduit par la symétrie du spectre par rapport à
l’axe des ordonnées.