24
2 • Modélisation fréquentielle des signaux temporels. Notion de spectre
Figure 2.1 Représentation temporelle et représentation fréquentielle d’un signal sinusoïdal.
Remarque : Pour des raisons de commodité, nous tracerons une raie joignant le point correspondant
au couple amplitude - fréquence à l’axe des fréquences afin de mieux matérialiser la représentation.
2.1.2 Représentation d’un signal composé
Figure 2.2 Représentation
fréquentielle d’un signal composé.
Considérons à présent le signal s(t) = A 1 cos v 1 t + A 2 cos v 2 t
composé de la somme de deux sinusoïdes. Dans sa représentation fréquentielle, nous choisissons de représenter ce signal
en portant uniquement, dans le graphe amplitude - fréquence,
les deux points (ou plutôt les deux raies) de chacune des deux
sinusoïdes (figure 2.2). Par convention, le signal représenté
est composé de la somme des deux signaux élémentaires ainsi
tracés.
Remarque : Il est clair qu’ici, nous perdons l’éventuelle information de déphasage à l’origine entre
les deux sinusoïdes. Toutefois, les applications pour lesquelles nous avons besoin d’introduire cette
nouvelle représentation fréquentielle sont telles qu’elles ne nécessiteront pas obligatoirement cette
information. Par conséquent, sa perte ne doit pas susciter d’inquiétude.
2.1.3 Notion de spectre
Figure 2.3 Spectre d’un signal
sinusoïdal.
Par analogie avec les spectres lumineux composés de raies de
lumière, les mathématiciens et physiciens qui ont introduit la
notion de représentation fréquentielle ont décidé de la nommer spectre du signal.
Le spectre d’un signal n’est donc rien d’autre que sa représentation fréquentielle, autrement dit la description de la
manière dont il se décompose en signaux élémentaires (ici des
sinusoïdes).
En règle générale, on préfère utiliser une décomposition
en signaux élémentaires du type e
jvt = e
j2p ft . La notion usuelle de spectre de signaux renvoie à une telle
décomposition. On dit parfois que le spectre est une décomposition du signal selon une base de fonctions
élémentaires e
jvt = e
j2p ft .
Ainsi, le spectre du signal sinusoïdal s(t) = A cos vt correspond au graphe de la figure 2.3, puisque
s(t) = A cos vt = A
e
jvt + e
− jvt
2
.
2 • Modélisation fréquentielle des signaux temporels. Notion de spectre
Figure 2.1 Représentation temporelle et représentation fréquentielle d’un signal sinusoïdal.
Remarque : Pour des raisons de commodité, nous tracerons une raie joignant le point correspondant
au couple amplitude - fréquence à l’axe des fréquences afin de mieux matérialiser la représentation.
2.1.2 Représentation d’un signal composé
Figure 2.2 Représentation
fréquentielle d’un signal composé.
Considérons à présent le signal s(t) = A 1 cos v 1 t + A 2 cos v 2 t
composé de la somme de deux sinusoïdes. Dans sa représentation fréquentielle, nous choisissons de représenter ce signal
en portant uniquement, dans le graphe amplitude - fréquence,
les deux points (ou plutôt les deux raies) de chacune des deux
sinusoïdes (figure 2.2). Par convention, le signal représenté
est composé de la somme des deux signaux élémentaires ainsi
tracés.
Remarque : Il est clair qu’ici, nous perdons l’éventuelle information de déphasage à l’origine entre
les deux sinusoïdes. Toutefois, les applications pour lesquelles nous avons besoin d’introduire cette
nouvelle représentation fréquentielle sont telles qu’elles ne nécessiteront pas obligatoirement cette
information. Par conséquent, sa perte ne doit pas susciter d’inquiétude.
2.1.3 Notion de spectre
Figure 2.3 Spectre d’un signal
sinusoïdal.
Par analogie avec les spectres lumineux composés de raies de
lumière, les mathématiciens et physiciens qui ont introduit la
notion de représentation fréquentielle ont décidé de la nommer spectre du signal.
Le spectre d’un signal n’est donc rien d’autre que sa représentation fréquentielle, autrement dit la description de la
manière dont il se décompose en signaux élémentaires (ici des
sinusoïdes).
En règle générale, on préfère utiliser une décomposition
en signaux élémentaires du type e
jvt = e
j2p ft . La notion usuelle de spectre de signaux renvoie à une telle
décomposition. On dit parfois que le spectre est une décomposition du signal selon une base de fonctions
élémentaires e
jvt = e
j2p ft .
Ainsi, le spectre du signal sinusoïdal s(t) = A cos vt correspond au graphe de la figure 2.3, puisque
s(t) = A cos vt = A
e
jvt + e
− jvt
2
.