Chapitre 2
Modélisation fréquentielle
des signaux temporels
Notion de spectre
2.1
DESCRIPTION DES SIGNAUX
Modéliser un phénomène physique, c’est disposer d’outils permettant de le représenter et de le décrire.
D’une manière générale, les signaux, tout comme les grandeurs physiques qu’ils représentent sont décrits
par des lois temporelles. Quoi de plus naturel, en effet, de décrire l’évolution d’une température, d’une
tension, d’une position ou d’une vitesse en fonction du temps.
Nous allons aborder, au cours de ce chapitre, un autre mode de description des signaux (donc des grandeurs qu’ils représentent), qui ne fait pas appel à sa représentation temporelle, mais qui propose un autre
mode de perception des phénomènes : il s’agit de leur représentation fréquentielle.
2.1.1 L’exemple du signal sinusoïdal
En écrivant s(t) = A cos vt, on détermine entièrement, pour tout instant, la valeur du signal s(t). Un tel
signal, dont on peut a priori prévoir la valeur à tout instant est dit déterministe (par opposition aux signaux
aléatoires ou stochastiques). Toutefois, il existe un autre moyen de décrire complètement (ou presque) ce
signal : en disant qu’il s’agit d’une sinusoïde d’amplitude A et de fréquence v/2p. À dire vrai, il manque
l’information sur l’origine des temps car tous les signaux du type s(t) = A cos(vt + w) sont des sinusoïdes
d’amplitude A et de fréquence v/2p et sont pourtant différents dans leur expression temporelle ; en fait
seule l’origine des temps y est différente. Si on considère que la définition d’une origine des temps est
arbitraire et donc, sans réelle importance, on peut considérer qu’il y a autant d’information dans l’écriture
d’une loi temporelle d’un signal sinusoïdal que dans l’écriture de ce signal sous la forme d’un couple
amplitude-fréquence.
Par conséquent, nous pouvons conclure, pour les signaux sinusoïdaux, à une dualité de représentation
temporelle-fréquentielle :
s(t) = A cos vt
⇔
A,
v
2p
représentation temporelle
⇔
représentation fréquentielle
Les intérêts d’une telle représentation sont multiples. Imaginons par exemple la représentation graphique
d’une sinusoïde : nous la connaissons bien dans sa représentation temporelle : figure 2.1. Dans sa représentation fréquentielle, autrement dit, si l’on décide de porter sur un axe d’abscisses, non plus la variable temps
mais la fréquence du signal, nous obtenons un graphe des plus simples puisqu’il se résume à un seul point,
qui suffit à dire que nous avons à faire à une sinusoïde d’amplitude A et de fréquence v/2p (figure 2.1).
Modélisation fréquentielle
des signaux temporels
Notion de spectre
2.1
DESCRIPTION DES SIGNAUX
Modéliser un phénomène physique, c’est disposer d’outils permettant de le représenter et de le décrire.
D’une manière générale, les signaux, tout comme les grandeurs physiques qu’ils représentent sont décrits
par des lois temporelles. Quoi de plus naturel, en effet, de décrire l’évolution d’une température, d’une
tension, d’une position ou d’une vitesse en fonction du temps.
Nous allons aborder, au cours de ce chapitre, un autre mode de description des signaux (donc des grandeurs qu’ils représentent), qui ne fait pas appel à sa représentation temporelle, mais qui propose un autre
mode de perception des phénomènes : il s’agit de leur représentation fréquentielle.
2.1.1 L’exemple du signal sinusoïdal
En écrivant s(t) = A cos vt, on détermine entièrement, pour tout instant, la valeur du signal s(t). Un tel
signal, dont on peut a priori prévoir la valeur à tout instant est dit déterministe (par opposition aux signaux
aléatoires ou stochastiques). Toutefois, il existe un autre moyen de décrire complètement (ou presque) ce
signal : en disant qu’il s’agit d’une sinusoïde d’amplitude A et de fréquence v/2p. À dire vrai, il manque
l’information sur l’origine des temps car tous les signaux du type s(t) = A cos(vt + w) sont des sinusoïdes
d’amplitude A et de fréquence v/2p et sont pourtant différents dans leur expression temporelle ; en fait
seule l’origine des temps y est différente. Si on considère que la définition d’une origine des temps est
arbitraire et donc, sans réelle importance, on peut considérer qu’il y a autant d’information dans l’écriture
d’une loi temporelle d’un signal sinusoïdal que dans l’écriture de ce signal sous la forme d’un couple
amplitude-fréquence.
Par conséquent, nous pouvons conclure, pour les signaux sinusoïdaux, à une dualité de représentation
temporelle-fréquentielle :
s(t) = A cos vt
⇔
A,
v
2p
représentation temporelle
⇔
représentation fréquentielle
Les intérêts d’une telle représentation sont multiples. Imaginons par exemple la représentation graphique
d’une sinusoïde : nous la connaissons bien dans sa représentation temporelle : figure 2.1. Dans sa représentation fréquentielle, autrement dit, si l’on décide de porter sur un axe d’abscisses, non plus la variable temps
mais la fréquence du signal, nous obtenons un graphe des plus simples puisqu’il se résume à un seul point,
qui suffit à dire que nous avons à faire à une sinusoïde d’amplitude A et de fréquence v/2p (figure 2.1).