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F • Memento de calcul matriciel
➤ Déterminant d’une matrice carrée de dimension n
det [A] =
n
i=1
(−1)
i+ j a ij det
M ij
, quelle que soit la valeur de j
M ij
est la matrice extraite de [A] en supprimant la i
ème ligne et la j
ème colonne.
(−1)
i+ j det
M ij
est le cofacteur de a ij .
➤ Adjointe d’une matrice carrée de dimension n
La matrice adjointe d’une matrice [A] est la matrice adj [A] obtenue en transposant la matrice des cofacteurs.
➤ Inverse d’une matrice carrée de dimension n
La matrice inverse d’une matrice [A] est la matrice [A]
−1 telle que :
[A] [A]
−1 = [A]
−1 [A] = I
La matrice [A]
−1 est égale à la matrice adjointe de [A] divisée par son déterminant :
[A]
−1 =
adj [A]
det [A]
Une matrice est dite régulière si elle est inversible, autrement dit, si son déterminant est non nul. Dans le
cas contraire, elle est dite singulière.
➤ Rang d’une matrice
Le rang d’une matrice est la dimension du plus grand déterminant non nul que l’on peut extraire d’une
matrice en supprimant lignes ou colonnes. Une matrice carrée régulière est toujours de rang n.
➤ Matrice carrée diagonale de dimension n
Une matrice carrée est dite diagonale si tous ses éléments a ij avec i = j sont nuls. Seule la diagonale
a 11 , a 22 , · · · , a nn contient des éléments non nuls.
➤ Matrice identité de dimension n
La matrice identité est la matrice diagonale notée I dont les éléments de la diagonale sont tous égaux à 1.
➤ Équation caractéristique d’une matrice carrée de dimension n
L’équation caractéristique est formée à partir du polynôme caractéristique de la matrice. Les solutions de
l’équation caractéristique sont les valeurs propres l i de [A].
det [lI − A] = 0