364
16 • Commande par retour d’état. Estimateurs, observateurs et prédicteurs
d’où :
[C] ([A](B)) =
⎡
⎣
1 −2
1 −3
⎤
⎦ et det [C] ([A](B)) =
1 −2
1 −3
= −1
Figure 16.8 Schéma fonctionnel du système.
Dans le cas d’une commande par retour d’état avec un vecteur de gain (k), la fonction de transfert en boucle fermée a
pour expression :
H( p) =
S( p)
E( p)
= (C) {pI − [A] + (B) (k)}
−1 (B)
Calculons le dénominateur de cette fonction de transfert :
D( p) = det {pI − [A] + (B) (k)}
soit :
D( p) = det
⎧
⎨
⎩
⎡
⎣
p 0
0 p
⎤
⎦ −
⎡
⎣
0 −2
1 −4
⎤
⎦ +
⎛
⎝
1
1
⎞
⎠
k 1 k2
⎫
⎬
⎭
D( p) = det
⎧
⎨
⎩
⎡
⎣
p 0
0 p
⎤
⎦ −
⎡
⎣
0 −2
1 −4
⎤
⎦ +
⎡
⎣
k 1 k2
k1 k2
⎤
⎦
⎫
⎬
⎭
d’où :
D( p) =
p + k 1
2 + k2
−1 + k1 p + 4 + k2
= p
2 + (4 + k2 + k1) p + 2k1 + 2 + k2
Compte tenu des performances que l’on souhaite obtenir, nous devons identifier ce dénominateur avec :
D( p) =
p
2
v
2
n
+
2jp
vn
+ 1 =
p
2
36
+ 0,15p + 1 =
1
36
p
2 + 5,4p + 36
En effet :
tm = 0,5 s ⇒ vn ≈
3
tm
= 6 rad/s et dep = 20 % ⇒ j ≈ 0,45
On a donc :
⎧
⎨
⎩
4 + k2 + k1 = 5,4
2k1 + 2 + k2 = 36