Solutions des exercices
363
soit :
⎛
⎝
x1(1)
x2(1)
⎞
⎠ =
⎡
⎣
−1 −2
2
2
⎤
⎦
⎛
⎝
1
1
⎞
⎠ −
⎡
⎣
−1 −2
1
2
⎤
⎦
⎛
⎝
1
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0
1
⎞
⎠
puis :
x(2) = [A] x(1) + (B) ´(1) ⇔
⎛
⎝
x1(2)
x2(2)
⎞
⎠ =
⎡
⎣
−1 −2
2
2
⎤
⎦
⎛
⎝
0
1
⎞
⎠ −
⎛
⎝
1
−1
⎞
⎠
g
1
x(1)
⎛
⎝
x1(2)
x2(2)
⎞
⎠ =
⎡
⎣
−1 −2
2
2
⎤
⎦
⎛
⎝
0
1
⎞
⎠ −
⎡
⎣
−1 −2
1
2
⎤
⎦
⎛
⎝
0
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0
0
⎞
⎠
Bien évidemment, x(k) =
⎛
⎝
0
0
⎞
⎠ pour tout k > 2.
16.5 La dynamique de l’estimateur est définie par le dénominateur de la fonction de transfert associée à l’équation :
˙
d(t) =
[A] − (v) (C)
d(t)
Soit :
D( p) = det {pI − [A] + (v) (C)}
On a :
D( p) = det
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
⎡
⎣
p 0
0 p
⎤
⎦ −
⎡
⎢
⎣
−1
1
1 −
1
2
⎤
⎥
⎦ +
⎛
⎝
1
1
⎞
⎠
0 1
⎫
⎪ ⎬
⎪ ⎭
d’où :
D( p) =
p + 1
0
−1 p +
3
2
= p
2 +
5
2
p +
3
2
=
3
2
2 p
2
3
+
5p
3
+ 1
Identifions cette expression avec le dénominateur d’un système du second ordre.
On a :
D( p) =
p
2
v 2 n
+
2jp
vn
+ 1 =
2 p
2
3
+
5p
3
+ 1
d’où :
vn =
3
2
rad/s = 1,22 rad/s ⇒ tm ≈
3
vn
= 2,46 s et j ≈ 1
L’estimateur répond donc avec un temps de montée de 2,46 s et fonctionne pratiquement en régime critique (pas de
dépassement et convergence très rapide).
16.6 Traduisons le fonctionnement du système en schéma fonctionnel. La figure 16.8 présente le système complet
avec sa commande par retour d’état et son observateur asymptotique.
Notre objectif consiste à déterminer les vecteurs (k) et (v) en fonction du cahier des charges. Le vecteur (k) doit être
déterminé en fonction des caractéristiques dynamiques souhaitées pour la réponse indicielle du système, tandis que
le vecteur (v) doit être déterminé en fonction de la dynamique d’estimation imposée. Ces deux vecteurs peuvent bien
sûr être déterminés de manière complètement indépendante étant donné que l’on impose à l’observateur une rapidité
largement supérieure à celle du système. Intéressons-nous donc tout d’abord au calcul de (k).
La commandabilité en modes se vérifie en calculant la matrice de commandabilité et en vérifiant qu’elle est bien de
rang 2, autrement dit que son déterminant est non nul :
On a :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B)
Or :
[A] (B) =
⎡
⎣
0 −2
1 −4
⎤
⎦
⎛
⎝
1
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
−2
−3
⎞
⎠
363
soit :
⎛
⎝
x1(1)
x2(1)
⎞
⎠ =
⎡
⎣
−1 −2
2
2
⎤
⎦
⎛
⎝
1
1
⎞
⎠ −
⎡
⎣
−1 −2
1
2
⎤
⎦
⎛
⎝
1
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0
1
⎞
⎠
puis :
x(2) = [A] x(1) + (B) ´(1) ⇔
⎛
⎝
x1(2)
x2(2)
⎞
⎠ =
⎡
⎣
−1 −2
2
2
⎤
⎦
⎛
⎝
0
1
⎞
⎠ −
⎛
⎝
1
−1
⎞
⎠
g
1
x(1)
⎛
⎝
x1(2)
x2(2)
⎞
⎠ =
⎡
⎣
−1 −2
2
2
⎤
⎦
⎛
⎝
0
1
⎞
⎠ −
⎡
⎣
−1 −2
1
2
⎤
⎦
⎛
⎝
0
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0
0
⎞
⎠
Bien évidemment, x(k) =
⎛
⎝
0
0
⎞
⎠ pour tout k > 2.
16.5 La dynamique de l’estimateur est définie par le dénominateur de la fonction de transfert associée à l’équation :
˙
d(t) =
[A] − (v) (C)
d(t)
Soit :
D( p) = det {pI − [A] + (v) (C)}
On a :
D( p) = det
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
⎡
⎣
p 0
0 p
⎤
⎦ −
⎡
⎢
⎣
−1
1
1 −
1
2
⎤
⎥
⎦ +
⎛
⎝
1
1
⎞
⎠
0 1
⎫
⎪ ⎬
⎪ ⎭
d’où :
D( p) =
p + 1
0
−1 p +
3
2
= p
2 +
5
2
p +
3
2
=
3
2
2 p
2
3
+
5p
3
+ 1
Identifions cette expression avec le dénominateur d’un système du second ordre.
On a :
D( p) =
p
2
v 2 n
+
2jp
vn
+ 1 =
2 p
2
3
+
5p
3
+ 1
d’où :
vn =
3
2
rad/s = 1,22 rad/s ⇒ tm ≈
3
vn
= 2,46 s et j ≈ 1
L’estimateur répond donc avec un temps de montée de 2,46 s et fonctionne pratiquement en régime critique (pas de
dépassement et convergence très rapide).
16.6 Traduisons le fonctionnement du système en schéma fonctionnel. La figure 16.8 présente le système complet
avec sa commande par retour d’état et son observateur asymptotique.
Notre objectif consiste à déterminer les vecteurs (k) et (v) en fonction du cahier des charges. Le vecteur (k) doit être
déterminé en fonction des caractéristiques dynamiques souhaitées pour la réponse indicielle du système, tandis que
le vecteur (v) doit être déterminé en fonction de la dynamique d’estimation imposée. Ces deux vecteurs peuvent bien
sûr être déterminés de manière complètement indépendante étant donné que l’on impose à l’observateur une rapidité
largement supérieure à celle du système. Intéressons-nous donc tout d’abord au calcul de (k).
La commandabilité en modes se vérifie en calculant la matrice de commandabilité et en vérifiant qu’elle est bien de
rang 2, autrement dit que son déterminant est non nul :
On a :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B)
Or :
[A] (B) =
⎡
⎣
0 −2
1 −4
⎤
⎦
⎛
⎝
1
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
−2
−3
⎞
⎠