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16 • Commande par retour d’état. Estimateurs, observateurs et prédicteurs
16.4 Vérifions tout d’abord que le système est complètement commandable :
On a :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B)
Or :
[A] (B) =
⎡
⎣
−1 −2
2
2
⎤
⎦
⎛
⎝
1
−1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
1
0
⎞
⎠
d’où :
[C] ([A](B)) =
⎡
⎣
1 1
−1 0
⎤
⎦ et det [C] ([A](B)) =
1 1
−1 0
= 1
La matrice de commandabilité étant de rang 2, le système est complètement commandable.
Cherchons à présent la suite ´(k) pour 0 k < 2 qui amène le système à 0 en 2 échantillons.
On a :
[A]
−2 x(2) = x(0) +
[A]
−1 (B) [A]
−2 (B)
⎛
⎝
´(0)
´(1)
⎞
⎠
soit :
⎛
⎝
´(0)
´(1)
⎞
⎠ =
[A]
−1 (B) [A]
−2 (B)
−1 {−x(0)}
Nous savons que le vecteur de gain du retour d’état est la première ligne de la matrice :
[A]
−1 (B) [A]
−2 (B)
−1
Calculons tout d’abord [A]
−1 :
[A]
−1 =
1
det [A]
⎡
⎣
2
2
−2 −1
⎤
⎦ =
⎡
⎢
⎣
1
1
−1 −
1
2
⎤
⎥
⎦ ⇒ [A]
−1 (B) =
⎡
⎢
⎣
1
1
−1 −
1
2
⎤
⎥
⎦
⎛
⎝
1
−1
⎞
⎠ =
⎛
⎜
⎝
0
−
1
2
⎞
⎟
⎠
On tire alors :
[A]
−2 =
⎡
⎢
⎣
1
1
−1 −
1
2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1
1
−1 −
1
2
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎢
⎣
0
1
2
−
1
2
−
3
4
⎤
⎥
⎥
⎦
Par conséquent :
[A]
−2 (B) =
⎡
⎢
⎢
⎣
0
1
2
−
1
2
−
3
4
⎤
⎥
⎥
⎦
⎛
⎝
1
−1
⎞
⎠ =
⎛
⎜
⎜
⎝
−
1
2
1
4
⎞
⎟
⎟
⎠
d’où :
[A]
−1 (B) [A]
−2 (B)
=
⎡
⎢
⎢
⎣
0 −
1
2
−
1
2
1
4
⎤
⎥
⎥
⎦ ⇒
[A]
−1 (B) [A]
−2 (B)
−1
=
⎡
⎣
−1 −2
−2
0
⎤
⎦
Le vecteur de gain qui assure la réponse pile est donc constitué de la première ligne de cette matrice, soit :
g
1
=
−1 −2
Simulons le fonctionnement du système pour les premiers échantillons à partir de l’état initial proposé.
On a :
x(1) = [A] x(0) + (B) ´(0) ⇔
⎛
⎝
x1(1)
x2(1)
⎞
⎠ =
⎡
⎣
−1 −2
2
2
⎤
⎦
⎛
⎝
1
1
⎞
⎠ −
⎛
⎝
1
−1
⎞
⎠
g
1
x(0)