Solutions des exercices
361
16.3 Calculons la matrice de commandabilité du système :
On a :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B)
Or :
[A] (B) =
⎡
⎣
−1 2
2 2
⎤
⎦
⎛
⎝
1
2
⎞
⎠ =
⎛
⎝
3
6
⎞
⎠
d’où :
[C] ([A](B)) =
⎡
⎣
1 3
2 6
⎤
⎦ et det [C] ([A](B)) =
1 3
2 6
= 0
Cette matrice est de rang 1, étant donné que son déterminant est nul. Le système n’est donc pas commandable. En
revanche, il est possible d’effectuer un changement de base de manière à mettre en évidence un sous-système commandable. Pour un système d’ordre 2, il suffit de diagonaliser la matrice de commande pour faire apparaître cette forme.
Calculons alors les valeurs propres du système :
det [lI − A] =
l + 1
−2
−2
l − 2
soit :
l
2 − l − 6 = 0 ⇒ l1 = 3 et l2 = −2
Calculons le premier vecteur propre :
⎡
⎣
−1 2
2 2
⎤
⎦
⎛
⎝
x
y
⎞
⎠ = −2
⎛
⎝
x
y
⎞
⎠ ⇒ x = −2y, soit v 1 =
⎛
⎝
−2
1
⎞
⎠
Le second vecteur propre se calcule tout aussi facilement :
⎡
⎣
−1 2
2 2
⎤
⎦
⎛
⎝
x
y
⎞
⎠ = 3
⎛
⎝
x
y
⎞
⎠ ⇒ y = 2x, soit : v 2 =
⎛
⎝
1
2
⎞
⎠
On a donc :
[T] =
⎡
⎣
−2 1
1 2
⎤
⎦ et [T]
−1 =
⎡
⎢
⎢
⎣
−
2
5
1
5
1
5
2
5
⎤
⎥
⎥
⎦
La forme recherchée est donc :
⎧
⎨
⎩
˙
x(t) =
A
x(t) +
B
e(t)
s(t) =
C
x(t)
avec :
A
= [T] [A] [T]
−1 et
B
= [T]
−1 (B)
soit :
A
=
⎡
⎣
−2 0
0 3
⎤
⎦ et
B
=
⎡
⎢
⎢
⎣
−
2
5
1
5
1
5
2
5
⎤
⎥
⎥
⎦
⎛
⎝
1
2
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0
1
⎞
⎠
Nous constatons effectivement que seul le second mode e
3t est commandable. Le second ne peut pas l’être mais comme
ce mode est stable, il est tout à fait possible d’assurer la stabilité du système en boucle fermée à l’aide du retour d’état
au travers d’un vecteur de gain approprié.