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16 • Commande par retour d’état. Estimateurs, observateurs et prédicteurs
On a :
v
2
n = 100 ⇒ vn = 10 rad/s ⇒ tm ≈
3
vn
= 0,3 s
et :
2j
vn
= 0,02 ⇒ j = 0,1
D’après l’abaque des réponses indicielles d’un système du second ordre (annexe 2), on en déduit la valeur du dépassement, soit environ 75 %.
16.2 La commandabilité en modes se vérifie en calculant la matrice de commandabilité et en vérifiant qu’elle est bien
de rang 2, autrement dit que son déterminant est non nul :
On a :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B)
Or :
[A] (B) =
⎡
⎣
−1 −5
2 −8
⎤
⎦
⎛
⎝
4
−1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
1
16
⎞
⎠
d’où :
[C] ([A](B)) =
⎡
⎣
4 1
−1 16
⎤
⎦ et det [C] ([A](B)) =
4 1
−1 16
= 73
Dans le cas d’une commande par retour d’état avec un vecteur de gain (k), la fonction de transfert en boucle fermée a
pour expression :
H( p) =
S( p)
E( p)
= (C) {pI − [A] + (B) (k)}
−1 (B)
Calculons le dénominateur de cette fonction de transfert :
D( p) = det {pI − [A] + (B) (k)}
Soit :
D( p) = det
⎧
⎨
⎩
⎡
⎣
p 0
0 p
⎤
⎦ −
⎡
⎣
−1 −5
2 −8
⎤
⎦ +
⎛
⎝
4
−1
⎞
⎠
k 1 k2
⎫
⎬
⎭
D( p) = det
⎧
⎨
⎩
⎡
⎣
p 0
0 p
⎤
⎦ −
⎡
⎣
−1 −5
2 −8
⎤
⎦ +
⎡
⎣
4k 1 4k2
−k1 −k2
⎤
⎦
⎫
⎬
⎭
d’où :
D( p) =
p + 1 + 4k 1
5 + 4k2
−2 − k1
p + 8 − k2
= p
2 + (9 + 4k1 − k2) + 18 − 7k2 + 37k1
Compte tenu des performances que l’on souhaite obtenir, nous devons identifier ce dénominateur avec :
D( p) =
p
2
v
2
n
+
2jp
vn
+ 1 =
p
2
56,25
+ 0,12p + 1 =
1
56,25
p
2 + 6,75p + 56,25
En effet :
tm = 0,4 s ⇒ vn ≈
3
tm
= 7,5 rad/s et j ≈
Dw
100
= 0,45
On a donc :
⎧
⎨
⎩
9 + 4k1 − k2 = 6,75
18 − 7k2 + 37k1 = 56,25
soit :
⎧
⎨
⎩
k1 = 6
k2 = 26,25