Solutions des exercices
359
16.6 Construction d’un observateur pour la commande par retour d’état d’un système d’ordre 2 à temps
continu
On considère un système régi par l’équation d’état :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t) avec [A] =
0 −2
1 −4
, (B) =
1
1
et (C) =
0 1
On souhaite commander ce système par retour d’état de sorte qu’il soit caractérisé par une réponse indicielle,
en boucle fermée, présentant un dépassement de 20 % et un temps de montée de 0,5 s.
Établir le schéma fonctionnel complet du système auquel on associera un observateur asymptotique possédant un temps de montée de 0,1 s et un facteur d’amortissement égal à 1.
SOLUTIONS
16.1 La commandabilité en modes se vérifie en calculant la matrice de commandabilité et en vérifiant qu’elle est bien
de rang 2, autrement dit que son déterminant est non nul :
On a :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B)
Or :
[A] (B) =
⎡
⎣
−1 −2
−1 −4
⎤
⎦
⎛
⎝
−3
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
1
−1
⎞
⎠
d’où :
[C] ([A](B)) =
⎡
⎣
1 −3
−1
1
⎤
⎦ et det [C] ([A](B)) =
1 −3
−1
1
= 4
Dans le cas d’une commande par retour d’état avec un vecteur de gain (k), la fonction de transfert en boucle fermée a
pour expression :
H( p) =
S( p)
E( p)
= (C) {pI − [A] + (B) (k)}
−1 (B)
Le dénominateur de cette fonction de transfert détermine complètement les caractéristiques dynamiques du système.
Or :
D( p) = det {pI − [A] + (B) (k)}
soit :
D( p) = det
⎧
⎨
⎩
⎡
⎣
p 0
0 p
⎤
⎦ −
⎡
⎣
−1 −2
−1 −4
⎤
⎦ +
⎛
⎝
−3
1
⎞
⎠
−55 −168
⎫
⎬
⎭
D( p) = det
⎧
⎨
⎩
⎡
⎣
p 0
0 p
⎤
⎦ −
⎡
⎣
−1 −2
−1 −4
⎤
⎦ +
⎡
⎣
165
504
−55 −168
⎤
⎦
⎫
⎬
⎭
d’où :
D( p) =
p + 166
506
−54
p − 164
= p
2 + 2p + 100 = 100
p
2
100
+ 0,02p + 1
Identifions alors ce dénominateur avec celui d’un système classique du second ordre :
D( p) =
p
2
v
2
n
+
2jp
vn
+ 1 =
p
2
100
+ 0,02p + 1