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16 • Commande par retour d’état. Estimateurs, observateurs et prédicteurs
16.2 Commande par retour d’état avec cahier des charges de performances en boucle fermée
On considère un système régi par l’équation d’état :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t) avec [A] =
−1 −5
2 −8
et (B) =
4
−1
Étudier la commandabilité en modes de ce système et calculer le vecteur de gain (k) à introduire dans une
boucle de retour d’état pour que le système, en boucle fermée et soumis à un échelon unitaire de consigne,
soit caractérisé par une marge de phase de 45
◦ et par un temps de montée t m = 0,4 s.
16.3 Commande par retour d’état d’un système non commandable
On considère un système régi par l’équation d’état :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t) avec [A] =
−1 2
2 2
et (B) =
1
2
Montrer que ce système n’est pas commandable. Déterminer l’expression du mode non commandable de
ce système et étudier la possibilité de commander ce système par un retour d’état.
16.4 Réponse pile d’un système d’ordre 2 à temps discret
On considère un système à temps discret régi par les équations d’état :
x(k + 1) = [A] x(k) + (B) e(k)
s(k) = (C) x(k)
avec [A] =
−1 −2
2
2
et (B) =
1
−1
Déterminer le vecteur de gain qui assure à ce système, pour une commande à retour d’état et pour un signal
de consigne nul, la réponse pile à l’état 0 à partir de n’importe quel état x(0) et ce, en un temps égal à 2 fois
la période d’échantillonnage.
Simuler le fonctionnement du système en boucle fermée à partir d’un vecteur d’état initial x(0) quelconque
pour vérifier la réponse pile à l’état x(2) = 0.
16.5 Évaluation des performances d’un estimateur asymptotique
On considère un système régi par ses équations d’état :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t)
s(t) = (C) x(t)
avec [A] =
⎡
⎢
⎣
−1
1
1 −
1
2
⎤
⎥
⎦ , (B) =
1
2
et (C) =
0 1
On associe à ce système un observateur asymptotique tel que celui défini sur la figure 16.6 avec (v) =
1
1
.
Calculer le temps de montée et le facteur d’amortissement de la dynamique d’estimation de cet observateur.