356
16 • Commande par retour d’état. Estimateurs, observateurs et prédicteurs
soit :
˙
x(t) =
[A] − (v) (C)
x(t) + (v) s(t) + (B) ´(t)
Or :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) ´(t)
s(t) = (C) x(t)
d’où :
˙
x(t) =
[A] − (v) (C)
x(t) + (v) (C) x(t) + ˙
x(t) − [A] x(t)
˙
x(t) − ˙
x(t) =
[A] − (v) (C)
{ x(t) − x(t)}
On a donc :
˙
d(t) =
[A] − (v) (C)
d(t)
Cette équation permet d’étudier la convergence de d(t) : nous sommes en effet ramenés à un problème
d’étude de la dynamique du système régi par cette équation. Nous pouvons, par une méthode de placement
des pôles, déterminer la rapidité de convergence de d(t) en choisissant correctement le vecteur (v).
Remarque : On confère en général à l’observateur une rapidité nettement plus importante que la rapidité du système observé, même si cela peut, dans certains cas, poser des problèmes d’immunité aux
bruits de hautes fréquences. On choisit alors des temps de montée, pour l’observateur, entre 3 et 10
fois plus faibles que le temps de montée du système.
c) Exemple
Considérons un système quelconque en supposant que la représentation est donnée sous une forme observable (dont on comprendra ici tout l’intérêt) :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) ´(t)
s(t) = (C) x(t)
avec [A] =
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 −1
1 0 −3
0 1 −2
⎤
⎥
⎥
⎦ et (C) =
0 0 1
Les pôles de la fonction de transfert qui détermine la dynamique de l’estimation se calculent immédiatement
en fonction des composantes du vecteur (v) :
[A] − (v) (C)
=
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 −1
1 0 −3
0 1 −2
⎤
⎥
⎥
⎦ −
⎛
⎜
⎜
⎝
v 1
v 2
v 3
⎞
⎟
⎟
⎠
0 0 1
=
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 −1 − v 1
1 0 −3 − v 2
0 1 −2 − v 3
⎤
⎥
⎥
⎦
Ces pôles sont respectivement −1 − v 1 , −3 − v 2 et − 2 − v 3 que nous pouvons, en choisissant v 1 , v 2 et v 3 ,
placer absolument où on le souhaite en fonction d’un cahier des charges donné.
16.4.2 Prédicteur en temps discret
a) Principe général
Le principe général est tout à fait similaire à ce qui a été présenté pour le temps continu. La figure 16.7
présente le schéma fonctionnel de ce qu’on appelle un prédicteur d’état d’ordre n. On utilise ici le terme de
prédicteur car l’objectif consiste à estimer l’état x(n + 1) à partir de la connaissance des signaux d’entrée et
de sortie à l’instant précédent n.
16 • Commande par retour d’état. Estimateurs, observateurs et prédicteurs
soit :
˙
x(t) =
[A] − (v) (C)
x(t) + (v) s(t) + (B) ´(t)
Or :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) ´(t)
s(t) = (C) x(t)
d’où :
˙
x(t) =
[A] − (v) (C)
x(t) + (v) (C) x(t) + ˙
x(t) − [A] x(t)
˙
x(t) − ˙
x(t) =
[A] − (v) (C)
{ x(t) − x(t)}
On a donc :
˙
d(t) =
[A] − (v) (C)
d(t)
Cette équation permet d’étudier la convergence de d(t) : nous sommes en effet ramenés à un problème
d’étude de la dynamique du système régi par cette équation. Nous pouvons, par une méthode de placement
des pôles, déterminer la rapidité de convergence de d(t) en choisissant correctement le vecteur (v).
Remarque : On confère en général à l’observateur une rapidité nettement plus importante que la rapidité du système observé, même si cela peut, dans certains cas, poser des problèmes d’immunité aux
bruits de hautes fréquences. On choisit alors des temps de montée, pour l’observateur, entre 3 et 10
fois plus faibles que le temps de montée du système.
c) Exemple
Considérons un système quelconque en supposant que la représentation est donnée sous une forme observable (dont on comprendra ici tout l’intérêt) :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) ´(t)
s(t) = (C) x(t)
avec [A] =
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 −1
1 0 −3
0 1 −2
⎤
⎥
⎥
⎦ et (C) =
0 0 1
Les pôles de la fonction de transfert qui détermine la dynamique de l’estimation se calculent immédiatement
en fonction des composantes du vecteur (v) :
[A] − (v) (C)
=
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 −1
1 0 −3
0 1 −2
⎤
⎥
⎥
⎦ −
⎛
⎜
⎜
⎝
v 1
v 2
v 3
⎞
⎟
⎟
⎠
0 0 1
=
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 −1 − v 1
1 0 −3 − v 2
0 1 −2 − v 3
⎤
⎥
⎥
⎦
Ces pôles sont respectivement −1 − v 1 , −3 − v 2 et − 2 − v 3 que nous pouvons, en choisissant v 1 , v 2 et v 3 ,
placer absolument où on le souhaite en fonction d’un cahier des charges donné.
16.4.2 Prédicteur en temps discret
a) Principe général
Le principe général est tout à fait similaire à ce qui a été présenté pour le temps continu. La figure 16.7
présente le schéma fonctionnel de ce qu’on appelle un prédicteur d’état d’ordre n. On utilise ici le terme de
prédicteur car l’objectif consiste à estimer l’état x(n + 1) à partir de la connaissance des signaux d’entrée et
de sortie à l’instant précédent n.