16.3 Commandabilité en temps discret : réponse pile
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Figure 16.3 Commande par retour d’état d’un système à temps discret.
16.3.2 Résolution du problème
Appliquons l’équation d’état à chaque instant entre les instants 1 et n :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x(1) = [A] x(0) + (B) ´(0)
x(2) = [A] x(1) + (B) ´(1)
. . .
x(n) = [A] x(n − 1) + (B) ´(n − 1)
En combinant ces équations, on obtient :
[A]
−n x(n) = x(0) +
[A]
−1 (B) [A]
−2 (B) · · · [A]
−n (B)
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
´(0)
. . .
´(n − 1)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Si le système est commandable, la matrice
[A]
−1 (B) · · ·
[A]
−n (B)
est inversible. Par ailleurs, nous
souhaitons obtenir x(n) = 0. On peut donc écrire :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
´(0)
. . .
´(n − 1)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
[A]
−1 (B) [A]
−2 (B) · · · [A]
−n (B)
−1 {−x(0)}
Cette équation nous donne la suite d’échantillons qui doit être introduite à l’entrée du système pour apporter
la solution au problème posé à savoir la convergence du système vers l’état 0. Or, si cette équation est valable
pour l’instant k = 0, elle doit l’être pour tous les instants d’échantillonnage ultérieurs. On a donc, quel que
soit k > 0 :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
´(k)
. . .
´(k + n − 1)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
[A]
−1 (B) [A]
−2 (B) · · · [A]
−n (B)
−1 {−x(k)}
Dans cette nouvelle équation vectorielle, appelons
g 1
le vecteur ligne correspondant à la première ligne
de la matrice.