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16 • Commande par retour d’état. Estimateurs, observateurs et prédicteurs
soit :
l
2
− 3l + 2 = 0 ⇒ l 1 = 1 et l 2 = 2
Calculons le premier vecteur propre :
0 1
−2 3
x
y
=
x
y
⇒ y = x, soit : v 1 =
1
1
Le second vecteur propre se calcule tout aussi facilement :
0 1
−2 3
x
y
= 2
x
y
⇒ y = 2x, soit v 2 =
1
2
On a donc :
[T] =
1 1
1 2
et [T]
−1 =
2 −1
−1
1
La forme recherchée est donc :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
˙
x(t) =
A
x(t) +
B
e(t)
s(t) =
C
x(t)
avec :
A
= [T] [A] [T]
−1 et
B
= [T]
−1 (B)
soit :
A
=
1 0
0 2
et
B
=
1
0
Nous constatons effectivement que seul le premier mode e
t est commandable. Le second ne peut pas l’être
et, comme ce mode est instable, il ne sera pas possible d’assurer la stabilité du système en boucle fermée à
l’aide du retour d’état au travers d’un vecteur de gain quel qu’il soit.
16.3 COMMANDABILITÉ EN TEMPS DISCRET : RÉPONSE PILE
16.3.1 Problématique
Considérons un système à temps discret défini par ses équations d’état :
x(k + 1) = [A] x(k) + (B) e(k)
s(k) = (C) x(k)
Le problème de la réponse pile, en temps discret, consiste à déterminer un vecteur de gain qui assure, en un
temps fini, la convergence de l’état du système vers l’état 0 à partir d’un état initial x(0). On suppose pour
ce faire que le signal de consigne est nul, autrement dit que système est autonome, soit e(k) = 0 pour tout
k. Soit nT e l’instant à partir duquel la réponse du système est censée être nulle.
Il s’agit, en fait, de rechercher la suite ´(k) pour 0 k < n qui amène le système à 0 en n échantillons.