16.2 Commandabilité en modes en temps continu
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Ce système, que nous avons étudié au chapitre 14, est complètement commandable. On souhaite placer
ce système dans une boucle à retour d’état avec un vecteur de gain (k) =
k 1 k 2
, de manière à obtenir
une marge de phase égale à 60
◦ et un temps de montée de 3 s. Ces deux performances correspondent à une
fonction de transfert du second ordre caractérisée par un facteur d’amortissement j = 0,6 et une pulsation
propre v n = 1 rad/s, autrement dit possédant un dénominateur D( p) tel que :
D( p) =
p
2
v
2
n
+
2jp
v n
+ 1 = p
2 + 1,2p + 1
Il ne nous reste plus alors qu’à identifier le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée avec
D( p) pour déterminer le vecteur de gain :
det {pI − [A] + (B) (k)} = p
2 + 1,2p + 1
soit :
p + 2 + k 1 2 + k 1
1 − 2k 2
p + 3 − 2k 2
= p
2 + 1,2p + 1
(p + 2 + k 1 ) (p + 3 − 2k 2 ) − (1 − 2k 2 ) (2 + k 1 ) = p
2 + 1,2p + 1
d’où :
p
2 + (5 + k 1 − 2k 2 ) p + (4 + k 1 ) = p
2 + 1,2p + 1
On a donc :
4 + k 1 = 1
5 + k 1 − 2k 2 = 1,2
⇒
k 1 = −3
k 2 = 0,4
Le vecteur de gain qui assure au système les performances voulues en boucle fermée est donc :
(k) =
−3 0,4
16.2.5 Exemple pour un système non commandable
Considérons le système défini par : [A] =
0 1
−2 3
et (B) =
1
1
.
La matrice de commandabilité est formée de deux vecteurs :
[C] ([A](B)) = [(B) [A] (B)]
Or :
[A] (B) =
0 1
−2 3
1
1
=
1
1
d’où :
[C] ([A](B)) =
1 1
1 1
⇒ det [C] ([A](B)) =
1 1
1 1
= 0
Cette matrice est de rang 1, étant donné que son déterminant est nul. Le système n’est donc pas commandable. En revanche, il est possible d’effectuer un changement de base de manière à mettre en évidence un
sous-système commandable. Pour un système d’ordre 2, il suffit de diagonaliser la matrice de commande
pour faire apparaître cette forme. Calculons alors les valeurs propres du système :
det [lI − A] =
l
−1
2 l − 3