350
16 • Commande par retour d’état. Estimateurs, observateurs et prédicteurs
16.2.3 Cas des systèmes non commandables
Dans le cas où le système n’est pas complètement commandable, nous avons vu, au chapitre 14, que les
équations d’état pouvaient se mettre, grâce à un changement de base approprié, sous la forme suivante :
⎧
⎨
⎩
˙
x(t) =
A
x(t) +
B
e(t)
s(t) =
C
x(t)
avec :
A
=
⎡
⎣
A 11
A 12
0
A 22
⎤
⎦ et
B
=
⎛
⎝
B 1
0
⎞
⎠
le sous système défini par la paire
A 11
,
B 1
étant complètement commandable.
Le système de n équations : ˙
x(t) =
A
x(t) +
B
e(t) −
k
x(t)
devient alors :
˙
x(t) =
⎡
⎣
A 11
A 12
0
A 22
⎤
⎦ x(t) +
⎛
⎝
B 1
0
⎞
⎠
e(t) −
k
x(t)
Scindons les vecteurs x(t) et
k
en deux sous-vecteurs.
On a :
˙
x 1
˙
x 2
=
⎡
⎣
A 11
A 12
0
A 22
⎤
⎦
x 1
x 2
+
⎛
⎝
B 1
0
⎞
⎠
e(t) −
k 1 k 2
x 1
x 2
soit :
˙
x 1
˙
x 2
=
⎡
⎣
A 11 −
B 1 k 1
A 12 −
B 1 k 2
0
A 22
⎤
⎦
x 1
x 2
+
⎛
⎝
B 1
0
⎞
⎠ e(t)
Cette expression apporte la preuve que le vecteur de gain ne peut agir que sur la partie complètement
commandable du système. En revanche, les modes non commandables du système ne seront pas affectés.
De cette propriété découle un résultat fondamental concernant la stabilité en boucle fermée des systèmes
non complètement comandables :
Un système non complètement commandable est stable en boucle fermée si et seulement si les modes
non commandables sont stables, autrement dit si les valeurs propres qui correspondent à ces modes sont
à parties réelles négatives (i.e. si les pôles correspondant sont à parties réelles négatives).
Remarque : Le problème ne se pose pas si le système est complètement commandable puisque, dans
ce cas, on peut placer les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée sur n’importe quelle valeur
choisie.
16.2.4 Exemple de placement des pôles pour un système commandable
Considérons le système défini par : [A] =
−2 −2
−1 −3
et (B) =
1
−2
.