16.2 Commandabilité en modes en temps continu
349
16.1.3 Détermination du vecteur d’état
La commande par retour d’état suppose que l’on connaisse parfaitement le système, mais surtout, que l’on
puisse accéder au vecteur d’état. Trois cas peuvent se présenter :
– tous les signaux internes composant le vecteur d’état sont accessibles à la mesure ; dans ce cas, les
variables d’état sont mesurables et des capteurs judicieusement placés permettent d’accéder aux informations nécessaires au retour d’état ;
– toutes les variables d’état ne sont pas mesurables mais le système est complètement observable ; il est
alors possible de reconstruire le vecteur d’état à un instant donné à partir de la connaissance du signal
de sortie et du signal d’entrée du système sur un intervalle de temps précédent ; on utilise pour ce faire,
un observateur d’état ;
– le système n’est pas complètement observable ; il est alors nécessaire d’estimer le vecteur d’état au
moyen d’un estimateur d’état.
Remarque : Il arrive souvent que, par abus de langage, on confonde les notions d’observateur et d’estimateur. Cette confusion ne porte pas à conséquence, l’important étant de disposer d’un moyen de
reconstruire le vecteur d’état à chaque instant pour assurer la commande par retour d’état.
16.2 COMMANDABILITÉ EN MODES EN TEMPS CONTINU
16.2.1 Définition
Nous supposons ici que le vecteur d’état est connu. L’expression de la fonction de transfert en boucle fermée
nous permet d’effectuer un calcul de ses pôles.
En effet :
{pI − [A] + (B) (k)}
−1 =
a dj {pI − [A] + (B) (k)}
det {pI − [A] + (B) (k)}
d’où :
H( p) = (C)
a dj {pI − [A] + (B) (k)}
det {pI − [A] + (B) (k)}
(B)
Remarque : Rappelons simplement que l’inverse d’une matrice carrée [M], si elle existe, est égale à
sa matrice adjointe (matrice des cofacteurs transposée) divisée par son déterminant.
Les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée sont donc les racines de l’équation caractéristique
det {pI − [A] + (B) (k)} = 0, c’est-à-dire les valeurs propres de la matrice [A] − (B) (k). La possibilité de
choisir le vecteur de gain (k) de manière à positionner ces pôles sur des valeurs voulues, donc de conférer
au système en boucle fermée les performances que l’on souhaite lui assigner, s’appelle la commandabilité
en modes du système.
16.2.2 Critère de commandabilité en modes
Un système est commandable en modes en boucle fermée s’il est complètement commandable en boucle
ouverte.
Pour savoir s’il est possible d’assurer la commandabilité en modes du système en boucle fermée, il
suffira donc de calculer la matrice de commandabilité :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B) [A]
2 (B) · · · [A]
n−1 (B)
et de vérifier si elle est de rang n autrement dit si son déterminant est non nul.
349
16.1.3 Détermination du vecteur d’état
La commande par retour d’état suppose que l’on connaisse parfaitement le système, mais surtout, que l’on
puisse accéder au vecteur d’état. Trois cas peuvent se présenter :
– tous les signaux internes composant le vecteur d’état sont accessibles à la mesure ; dans ce cas, les
variables d’état sont mesurables et des capteurs judicieusement placés permettent d’accéder aux informations nécessaires au retour d’état ;
– toutes les variables d’état ne sont pas mesurables mais le système est complètement observable ; il est
alors possible de reconstruire le vecteur d’état à un instant donné à partir de la connaissance du signal
de sortie et du signal d’entrée du système sur un intervalle de temps précédent ; on utilise pour ce faire,
un observateur d’état ;
– le système n’est pas complètement observable ; il est alors nécessaire d’estimer le vecteur d’état au
moyen d’un estimateur d’état.
Remarque : Il arrive souvent que, par abus de langage, on confonde les notions d’observateur et d’estimateur. Cette confusion ne porte pas à conséquence, l’important étant de disposer d’un moyen de
reconstruire le vecteur d’état à chaque instant pour assurer la commande par retour d’état.
16.2 COMMANDABILITÉ EN MODES EN TEMPS CONTINU
16.2.1 Définition
Nous supposons ici que le vecteur d’état est connu. L’expression de la fonction de transfert en boucle fermée
nous permet d’effectuer un calcul de ses pôles.
En effet :
{pI − [A] + (B) (k)}
−1 =
a dj {pI − [A] + (B) (k)}
det {pI − [A] + (B) (k)}
d’où :
H( p) = (C)
a dj {pI − [A] + (B) (k)}
det {pI − [A] + (B) (k)}
(B)
Remarque : Rappelons simplement que l’inverse d’une matrice carrée [M], si elle existe, est égale à
sa matrice adjointe (matrice des cofacteurs transposée) divisée par son déterminant.
Les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée sont donc les racines de l’équation caractéristique
det {pI − [A] + (B) (k)} = 0, c’est-à-dire les valeurs propres de la matrice [A] − (B) (k). La possibilité de
choisir le vecteur de gain (k) de manière à positionner ces pôles sur des valeurs voulues, donc de conférer
au système en boucle fermée les performances que l’on souhaite lui assigner, s’appelle la commandabilité
en modes du système.
16.2.2 Critère de commandabilité en modes
Un système est commandable en modes en boucle fermée s’il est complètement commandable en boucle
ouverte.
Pour savoir s’il est possible d’assurer la commandabilité en modes du système en boucle fermée, il
suffira donc de calculer la matrice de commandabilité :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B) [A]
2 (B) · · · [A]
n−1 (B)
et de vérifier si elle est de rang n autrement dit si son déterminant est non nul.