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16 • Commande par retour d’état. Estimateurs, observateurs et prédicteurs
et :
´(t) = e(t) − (k) (x) = e(t) −
k 1 k 2 · · · k n
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x 1
x 2
. . .
x n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
soit :
´(t) = e(t) − k 1 x 1 − k 2 x 2 − · · · − k n x n
Figure 16.2 Bouclage du système par un vecteur de gain.
16.1.2 Fonction de transfert en boucle fermée
On peut calculer la fonction de transfert en boucle fermée du système à partir de la représentation d’état.
Supposons que le système, en boucle ouverte, soit régi par les équations d’état suivantes :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) ´(t)
s(t) = (C) x(t)
On a alors :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) {e(t) − (k) x(t)}
soit :
˙
x(t) = {[A] − (B) (k)} x(t) + (B) e(t)
Appliquons la transformée de Laplace aux équations d’état :
pX( p) = {[A] − (B) (k)} X( p) + (B) E( p)
S( p) = (C) X( p)
On tire :
{pI − [A] + (B) (k)} X( p) = (B) E( p)
soit :
X( p) = {pI − [A] + (B) (k)}
−1 (B) E( p)
d’où :
H( p) =
S( p)
E( p)
= (C) {pI − [A] + (B) (k)}
−1 (B)