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15 • Représentation d’état des systèmes à temps discret
Par conséquent :
x [(k + 1)T e ] = e
[A]Te x(kT e ) +
(k+1)Te
kTe
e
[A]{(k+1)Te−t} dt
(B) e(kT e )
En posant :
f (T e ) = e
[A]Te et g(kT e ) =
(k+1)Te
kTe
e
[A]{(k+1)Te−t} dt
on a :
x [(k + 1)T e ] = f (T e )x(kT e ) + g(kT e ) (B) e(kT e )
Il est également possible de connaître l’état du système entre deux instants d’échantillonnage, par
exemple entre kT e et (k + 1)T e à partir de cette équation qui est valable quel que soit l’instant t. Pour
kT e < t < (k + 1)T e , on a :
x (t) = e
[A](t−kTe) x(kT e ) +
t−kTe
0
e
[A]t dt
(B) e(kT e )
15.6.2 Influence de la période d’échantillonnage sur l’observabilité
et la commandabilité
Le choix de la période d’échantillonnage est susceptible d’influencer l’observalibilité et la commandabilité
d’un système. On montre qu’un système à temps discret perd son observabilité et sa commandabilité si il
existe deux valeurs propres distinctes l 1 et l 2 de la matrice [A] qui possèdent la même partie réelle et dont
la différence des parties imaginaires est un multiple de la pulsation d’échantillonnage v e =
2p
T e
.
Remarque : il y a donc peu de chance qu’un système à temps continu perde sa commandabilité et
son observabilité si on prend soin de ne pas échantillonner à une fréquence multiple d’une de ses
fréquences propres.
EXERCICES
15.1 Détermination de l’état d’un système en réponse à un échelon unité
On considère un système régi par l’équation d’état :
x(k + 1) = [A] x(k) + (B) e(k) avec [A] =
−1
1
−4 −2
et (B) =
1
−1
On suppose qu’à l’instant t = 0, le système se trouve dans l’état x(0) =
0
0
.
Ce système étant soumis à une entrée en échelon unité, déterminer la valeur de son vecteur d’état x à
l’instant 4T e en utilisant successivement une méthode d’itérations successives et de calcul direct.