15.6 Commande échantillonnée d’un système à temps continu
341
La fonction de transfert du système est donc :
G(z) =
S(z)
E(z)
= (C) (zI − [A])
−1 (B)
L’inverse d’une matrice carrée étant égale à sa matrice adjointe divisée par son déterminant, nous pouvons
en déduire que les pôles de la fonction de transfert sont les valeurs de z qui sont solutions de l’équation :
det (zI − [A]) = 0
Ce sont donc les valeurs propres de la matrice [A].
Attention : tout comme dans la représentation d’état des systèmes à temps continu, la fonction de
transfert ainsi obtenue correspond uniquement à la partie observable et commandable du système.
15.6 COMMANDE ÉCHANTILLONNÉE D’UN SYSTÈME À TEMPS CONTINU
Tout comme nous l’avons vu dans la quatrième partie de cet ouvrage, la commande à temps discret d’un
système à temps continu est une opération très fréquente. La représentation d’état ne change rien à cela.
Nous avons alors affaire à des systèmes dont le schéma général correspond à la figure 15.7.
Figure 15.7 Système à temps continu commandé à temps discret.
Le bloqueur (par exemple d’ordre 0), assure au système à temps continu un signal de commande e(t)
constant entre deux instants d’échantillonnage et égal à e(kT e ) entre les instants kT e et (k + 1)T e .
15.6.1 Comportement du système
Le comportement du système à temps continu est régi par ses équations d’état et son état, à un instant t
quelconque, est déterminé par la relation :
x(t) = e
[A](t−t1) x(t 1 ) +
t
t1
e
[A](t−t) (B) e(t) dt
Il est possible, à partir de cette équation, de calculer l’état du système à un instant d’échantillonnage (k+1)T e
en fonction de son état précédent x(kT e ) et du signal d’entrée (constant sur cet intervalle) e(kT e ) :
x [(k + 1)T e ] = e
[A]Te x(kT e ) +
(k+1)Te
kTe
e
[A]{(k+1)Te−t} (B) e(t) dt
Sur l’intervalle de temps considéré, on a :
e(t) = C
te = e(kT e ).