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15 • Représentation d’état des systèmes à temps discret
Nous pouvons immédiatement proposer la représentation de la figure 15.6 par analogie totale avec les
résultats obtenus au chapitre 14 pour l’étude de la forme compagne observable en temps continu. Il suffit à
nouveau de remarquer la similitude complète de cette fonction de transfert en z avec la fonction G( p) qui y
a été étudiée, en faisant la transformation p
−1
→ z
−1 .
Figure 15.6 Représentation d’état du système sous forme compagne observable.
Les équations d’état se déduisent naturellement de cette représentation :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x(k + 1) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 · · · · · · · · · 0 −a 0
1 0 · · · · · · 0 −a 1
0 1
0 · · · 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 · · · 0
1 0
. . .
0 · · · 0
0 1 −a n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
x(k) +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
b 0
. . .
b m
0
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
e(k)
s(k) =
0 · · · 0 1
x(k)
15.5.2 Calcul de la fonction de transfert à partir de la représentation
d’état
a) Tranformation en z des équations d’état
Si on applique la transformation en z aux équations d’état et si on suppose nulles les conditions initiales, on
obtient :
x(k + 1) = [A] x(k) + (B) e(k)
s(k) = (C) x(k)
⇒
zX(z) = [A] X(z) + (B) E(z)
S(z) = (C) X(z)
On a donc :
X(z) = (zI − [A])
−1 (B) E(z)
On tire alors l’expression de S( p) :
S(z) = (C) (zI − [A])
−1 (B) E(z)