15.5 Relation entre la représentation d’état et la fonction de transfert d’un système
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Figure 15.5 Représentation d’état sous forme compagne commandable.
Les équations d’état se déduisent naturellement de cette représentation :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 (k + 1) = x 2 (k)
x 2 (k + 1) = x 3 (k)
. . .
x n−1 (k + 1) = x n (k)
x n (k + 1) = −a 0 x 1 (k) − a 1 x 2 (k) − · · · − a n−1 x n (k) + e(k)
s(k) = b 0 x 1 (k) + b 1 x 2 (k) + · · · + a m x m+1 (k)
d’où :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x(k + 1) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
1
0 · · ·
0
. . .
0
1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
0
· · · 0
1
−a 0 −a 1 · · · · · · −a n−1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
x(k) +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
. . .
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
e(k)
s(k) =
b 0 · · · b m 0 · · · 0
x(k)
d) Représentation compagne observable
La représentation compagne observable peut être mise en évidence à partir de la forme de G(z) déjà transformée dans le paragraphe précédent :
G(z) =
b m z
m−n + b m−1 z
m−n−1 + · · · + b 1 z
−n+1 + b 0 z
−n
1 + a n−1 z −1 + · · · + a 1 z −n+1 + a 0 z −n