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15 • Représentation d’état des systèmes à temps discret
d’où :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x(k + 1) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
p 1 0 · · · 0
0 p 2
0
0
. . .
. . .
. . . 0
0 · · · 0 p n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
x(k) +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
1
. . .
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
e(k)
s(k) =
a 1 a 2 · · · a n
x(k)
La matrice de commande [A] est diagonale et ses valeurs propres sont les pôles de la fonction de transfert.
b) Représentation série
soit :
G(z) =
S(z)
E(z)
=
a
(z − p 1 ) (z − p 2 ) × · · · × (z − p n )
Cette écriture fait apparaître le produit de n fonctions de transfert et peut être matérialisée par la mise en
cascade de n blocs élémentaires.
Figure 15.4 Représentation d’état d’un système discret sous forme série.
La figure 15.4 propose une représentation d’état cohérente avec cette forme en cascade de la fonction
de transfert.
Dans ce cas, on a :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x(k + 1) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
p 1 0 · · · 0
1 p 2
0
0
. . .
. . .
. . . 0
0 · · · 1 p n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
x(k) +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
e(k)
s(k) =
0 · · · 0 a
x(k)
c) Représentation compagne commandable
On suppose ici que la fonction de transfert n’est pas factorisée.
Soit :
G(z) =
b m z
m−n + b m−1 z
m−n−1 + · · · + b 1 z
−n+1 + b 0 z
−n
1 + a n−1 z −1 + · · · + a 1 z −n+1 + a 0 z −n
Nous pouvons immédiatement proposer la représentation de la figure 15.5 par analogie totale avec les
résultats obtenus au chapitre 14 pour l’étude de la forme compagne commandable en temps continu. Il
suffit en effet de remarquer la similitude complète de cette fonction de transfert en z avec la fonction G( p)
qui y a été étudiée, en faisant la transformation p
−1
→ z
−1 .