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15 • Représentation d’état des systèmes à temps discret
15.4 OBSERVABILITÉ DE L’ÉTAT D’UN SYSTÈME
L’observabilité des systèmes à temps discret s’étudie exactement de la même manière que pour ceux à temps
continu.
15.4.1 Définition
Un système est dit observable à un instant k 2 T e , si la connaissance du signal d’entrée et du signal de sortie
sur un intervalle de temps [k 1 T e , k 2 T e ] permet de calculer l’état du système à l’instant k 2 T e .
Si un système est observable quel que soit l’instant k 2 T e , il est dit complètement observable.
15.4.2 Critère d’observabilité
Attention : le critère d’observabilité est légèrement différent pour les systèmes à temps discret.
Un système est complètement observable si et seulement si les vecteurs colonnes (C)
T ,
A
T
(C)
T ,
A
T
2 (C)
T ,
. . . ,
A
T
n−1 (C)
T sont linéairement indépendants.
Cet énoncé peut se traduire également de la manière suivante : on définit la matrice d’observabilité par
la matrice formée des n vecteurs colonnes (C)
T ,
A
T
(C)
T ,
A
T
2 (C)
T , . . . ,
A
T
n−1 (C)
T :
O
([A](C)) =
(C)
T
A
T
(C)
T
A
T
2 (C)
T
· · ·
A
T
n−1 (C)
T
La paire [A] , (C) est complètement observable si et seulement si la matrice d’observabilité est régulière,
autrement dit si son déterminant n’est pas nul.
15.4.3 Exemple
Considérons un système régi par les équations :
x(k + 1) = [A] x(k) + (B) e(k)
s(k) = (C) x(k)
avec :
[A] =
−1 1
−1 2
et (C) =
1 −1
La matrice d’observabilité est définie par :
O
([A](C)) =
(C)
T
A
T
(C)
T
avec (C)
T =
1
−1
et
A
T
=
−1 −1
1
2
Or :
A
T
(C)
T =
−1 −1
1
2
1
−1
=
0
−1
d’où :
O
([A](C)) =
1
0
−1 −1
⇒ det
O
([A](C)) = −1
Le système est donc complètement observable.