15.3 Commandabilité d’un système à temps discret
335
En procédant par itérations successives, on obtient aisément la suite correspondant au vecteur d’état à
chaque instant d’échantillonnage.
On a ainsi :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x(1) =
−1
1
−2 −1
0
0
+
1
2
=
1
2
x(2) =
−1
1
−2 −1
1
2
+
1
2
=
2
−2
x(3) =
−1
1
−2 −1
2
−2
+
1
2
=
−3
2
x(4) =
−1
1
−2 −1
−3
2
+
1
2
=
6
6
x(5) =
−1
1
−2 −1
6
6
+
1
2
=
1
−16
15.3 COMMANDABILITÉ D’UN SYSTÈME À TEMPS DISCRET
La commandabilité des systèmes à temps discret s’étudie exactement de la même manière que pour les
systèmes à temps continu.
15.3.1 Accessibilité
Un système est dit accessible à l’état x(k 0 ) s’il est possible de déterminer une suite d’échantillons d’entrée
e(k) sur l’intervalle [0, k 0 − 1] de manière à amener le système de état x(0) = 0 vers l’état x(k 0 ).
Si un système est accessible quel que soit x(k 0 ), il est dit complètement accessible.
Remarque : les notions d’accessibilité, de commandabilité et de gouvernabilité sont encore ici, généralement confondues.
15.3.2 Critère de commandabilité
Un système est complètement accessible et complètement commandable si et seulement si les vecteurs
(B) , [A] (B) , [A]
2 (B) , . . . , [A]
n−1 (B) sont linéairement indépendants.
Cet énoncé peut se traduire également de la manière suivante : on définit la matrice de commandabilité ou de gouvernabilité par la matrice formée des n vecteurs colonnes (B), [A] (B), [A]
2 (B) , . . . ,
[A]
n−1 (B) :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B) [A]
2 (B) · · · [A]
n−1 (B)
La paire [A] , (B) est complètement commandable si et seulement si la matrice de commandabilité est
régulière, autrement dit si son déterminant n’est pas nul.