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15 • Représentation d’état des systèmes à temps discret
15.2 RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS D’ÉTAT
Nous nous limitons ici à l’étude des systèmes invariants possédant une seule entrée et une seule sortie.
Formulons l’hypothèse que l’état du système à l’instant 0 est connu et que la suite d’échantillons d’entrée
l’est également entre l’instant 0 et l’instant k 0 − 1. Résoudre les équations d’état revient à rechercher l’état
du système à l’instant k 0 . Comme cet état sera déterminé sans tenir compte de la valeur de l’échantillon
d’entrée à cet instant, on parle ici de prédiction de l’état du système.
15.2.1 Prédiction de l’état du système à un instant quelconque
Procédons par itérations successives. On a :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x(1) = [A] x(0) + (B) e(0)
x(2) = [A] x(1) + (B) e(1)
. . .
x(i) = [A] x(i − 1) + (B) e(i − 1)
. . .
x(k 0 − 1) = [A] x(k 0 − 2) + (B) e(k 0 − 2)
x(k 0 ) = [A] x(k 0 − 1) + (B) e(k 0 − 1)
soit :
x(k 0 ) = [A] {[A] x (k 0 − 2) + (B) e(k 0 − 2)} + (B) e(k 0 − 1)
d’où :
x(k 0 ) = [A]
2 x (k 0 − 2) + [A] (B) e(k 0 − 2) + (B) e(k 0 − 1)
En remplaçant successivement les x(i), on obtient :
x(k 0 ) = [A]
k0 x (0) +
k0−1
i=0
[A]
k0−1−i (B) e(i)
Remarque : l’expression ainsi mise en évidence est tout à fait comparable avec celle que nous avons
trouvée en temps continu. La matrice de transition est égale à [A]
k0 et se calcule donc sans aucune
difficulté.
Le principe des itérations successives est très intéressant à utiliser dans le cas où l’on recherche l’évolution de l’état du système pour tout instant sur l’intervalle [0, k 0 ].
15.2.2 Exemple
Considérons un système régi par l’équation de commande :
x(k + 1) = [A] x(k) + (B) e(k)
avec :
[A] =
−1 1
−1 2
et (B) =
1
2
Formulons l’hypothèse que ce système est sollicité par un échelon unité, soit e(k) = 1 pour tout k 0 et
cherchons la suite des 5 premiers échantillons correspondant au deux signaux du vecteur d’état, soit x 1 (k)
et x 2 (k). On suppose que l’état initial est caractérisé par x(0) = 0.
15 • Représentation d’état des systèmes à temps discret
15.2 RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS D’ÉTAT
Nous nous limitons ici à l’étude des systèmes invariants possédant une seule entrée et une seule sortie.
Formulons l’hypothèse que l’état du système à l’instant 0 est connu et que la suite d’échantillons d’entrée
l’est également entre l’instant 0 et l’instant k 0 − 1. Résoudre les équations d’état revient à rechercher l’état
du système à l’instant k 0 . Comme cet état sera déterminé sans tenir compte de la valeur de l’échantillon
d’entrée à cet instant, on parle ici de prédiction de l’état du système.
15.2.1 Prédiction de l’état du système à un instant quelconque
Procédons par itérations successives. On a :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x(1) = [A] x(0) + (B) e(0)
x(2) = [A] x(1) + (B) e(1)
. . .
x(i) = [A] x(i − 1) + (B) e(i − 1)
. . .
x(k 0 − 1) = [A] x(k 0 − 2) + (B) e(k 0 − 2)
x(k 0 ) = [A] x(k 0 − 1) + (B) e(k 0 − 1)
soit :
x(k 0 ) = [A] {[A] x (k 0 − 2) + (B) e(k 0 − 2)} + (B) e(k 0 − 1)
d’où :
x(k 0 ) = [A]
2 x (k 0 − 2) + [A] (B) e(k 0 − 2) + (B) e(k 0 − 1)
En remplaçant successivement les x(i), on obtient :
x(k 0 ) = [A]
k0 x (0) +
k0−1
i=0
[A]
k0−1−i (B) e(i)
Remarque : l’expression ainsi mise en évidence est tout à fait comparable avec celle que nous avons
trouvée en temps continu. La matrice de transition est égale à [A]
k0 et se calcule donc sans aucune
difficulté.
Le principe des itérations successives est très intéressant à utiliser dans le cas où l’on recherche l’évolution de l’état du système pour tout instant sur l’intervalle [0, k 0 ].
15.2.2 Exemple
Considérons un système régi par l’équation de commande :
x(k + 1) = [A] x(k) + (B) e(k)
avec :
[A] =
−1 1
−1 2
et (B) =
1
2
Formulons l’hypothèse que ce système est sollicité par un échelon unité, soit e(k) = 1 pour tout k 0 et
cherchons la suite des 5 premiers échantillons correspondant au deux signaux du vecteur d’état, soit x 1 (k)
et x 2 (k). On suppose que l’état initial est caractérisé par x(0) = 0.