15.1 Principe général
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15.1.2 Modélisation du fonctionnement du système
Dans une représentation en temps discret, la possibilité d’exprimer l’état du système à un instant donné en
fonction du signal d’entrée et en fonction de son « passé », autrement dit, de son état précédent, prend tout
son sens. La forme générale pour un système mono-entrée et mono-sortie des équations d’état en temps
discret correspond donc à :
x(k + 1) = [A] x(k) + (B) e(k)
s(k) = (C) x(k)
La matrice de commande [A] est une matrice carrée, (B) est un vecteur colonne et (C) est un vecteur ligne.
Remarque : pour un système d’ordre n, c’est-à-dire possédant n variables d’état, la première équation,
dite de commande, correspond à un système de n équations :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 (k + 1) = a 11 x 1 (k) + a 12 x 2 (k) + · · · + a 1n x n (k) + b 1 e(k)
x 2 (k + 1) = a 21 x 1 (k) + a 22 x 2 (k) + · · · + a 2n x n (k) + b 2 e(k)
. . .
x n (k + 1) = a n1 x 1 (k) + a n2 x 2 (k) + · · · + a nn x n (k) + b n e(k)
Si le système possède plusieurs entrées et plusieurs sorties, on retrouve une écriture similaire à ce qui a déjà
été étudié au chapitre 14 : soit n le nombre de variables d’état, m le nombre d’entrées et p le nombre de
sorties. Dans ces conditions, la matrice de commande est toujours une matrice n × n, [B] est une matrice
n × m et [C] est une matrice p × n. Pour être complet, il faut tenir compte d’une possible relation directe
entre entrées et sorties. La matrice [D], de dimensions m × p représente ce lien. Signalons pour finir que les
coefficients des différentes matrices peuvent aussi être variables dans le temps (c’est-à-dire s’exprimer en
fonction de k).
On a alors :
x(k + 1) = [A(k)] x(k) + [B(k)] e(k)
s(k) = [C(k)] x(k) + [D(k)] e(k)
On adopte fréquemment la représentation schématique de la figure 15.2 pour illustrer cette modélisation.
Attention, dans cette représentation, les signaux sont en réalité des vecteurs de signaux à temps discret.
Figure 15.2 Représentation schématique d’une modélisation d’état en temps discret.
Si les coefficients des différentes matrices sont constants, le système est dit invariant.
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15.1.2 Modélisation du fonctionnement du système
Dans une représentation en temps discret, la possibilité d’exprimer l’état du système à un instant donné en
fonction du signal d’entrée et en fonction de son « passé », autrement dit, de son état précédent, prend tout
son sens. La forme générale pour un système mono-entrée et mono-sortie des équations d’état en temps
discret correspond donc à :
x(k + 1) = [A] x(k) + (B) e(k)
s(k) = (C) x(k)
La matrice de commande [A] est une matrice carrée, (B) est un vecteur colonne et (C) est un vecteur ligne.
Remarque : pour un système d’ordre n, c’est-à-dire possédant n variables d’état, la première équation,
dite de commande, correspond à un système de n équations :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 (k + 1) = a 11 x 1 (k) + a 12 x 2 (k) + · · · + a 1n x n (k) + b 1 e(k)
x 2 (k + 1) = a 21 x 1 (k) + a 22 x 2 (k) + · · · + a 2n x n (k) + b 2 e(k)
. . .
x n (k + 1) = a n1 x 1 (k) + a n2 x 2 (k) + · · · + a nn x n (k) + b n e(k)
Si le système possède plusieurs entrées et plusieurs sorties, on retrouve une écriture similaire à ce qui a déjà
été étudié au chapitre 14 : soit n le nombre de variables d’état, m le nombre d’entrées et p le nombre de
sorties. Dans ces conditions, la matrice de commande est toujours une matrice n × n, [B] est une matrice
n × m et [C] est une matrice p × n. Pour être complet, il faut tenir compte d’une possible relation directe
entre entrées et sorties. La matrice [D], de dimensions m × p représente ce lien. Signalons pour finir que les
coefficients des différentes matrices peuvent aussi être variables dans le temps (c’est-à-dire s’exprimer en
fonction de k).
On a alors :
x(k + 1) = [A(k)] x(k) + [B(k)] e(k)
s(k) = [C(k)] x(k) + [D(k)] e(k)
On adopte fréquemment la représentation schématique de la figure 15.2 pour illustrer cette modélisation.
Attention, dans cette représentation, les signaux sont en réalité des vecteurs de signaux à temps discret.
Figure 15.2 Représentation schématique d’une modélisation d’état en temps discret.
Si les coefficients des différentes matrices sont constants, le système est dit invariant.