Chapitre 15
Représentation d’état des systèmes
à temps discret
15.1 PRINCIPE GÉNÉRAL
Tout comme les systèmes à temps continu, les systèmes à temps discret peuvent être placés sous forme
de représentation d’état. Les deux formalismes sont très voisins et les résultats démontrés au chapitre 14
restent, pour la plupart, valables. Deux approches traditionnelles sont souvent étudiées pour aborder la représentation d’état des systèmes discrets : la discrétisation des équations d’état continues et la représentation
directe par analogie avec la représentation d’état en temps continu. C’est cette deuxième approche que nous
avons privilégiée car elle permet de généraliser très rapidement les propriétés déjà démontrées.
15.1.1 Variables d’état en temps discret
Dans la représentation d’état en temps continu, nous avons proposé des schémas fonctionnels de systèmes
ne comportant que des intégrateurs et des gains et nous avons vu qu’il était possible, à partir de tels éléments,
de reconstruire n’importe quelle fonction de transfert. En temps discret, il est possible de décomposer un
système en utilisant des gains et des opérateurs dits de décalage, de fonctions de transfert z
−1 . La figure 15.1
présente un exemple de système composé de tels éléments. On peut, dans un tel modèle, définir des variables
d’état, que nous noterons x i (k) et qui représentent, selon le formalisme développé dans la quatrième partie
de cet ouvrage, la valeur des signaux x i aux instants kT e , T e étant la période d’échantillonnage de tous les
signaux présents dans le système.
Figure 15.1 Représentation d’état en temps discret.
Remarque : Rappelons ici que l’équation X 3 (z) = z
−1 X 2 (z) se traduit, en représentation temporelle à
temps discret par la relation x 3 (k + 1) = x 2 (k). D’où la dénomination d’opérateur de décalage.
Représentation d’état des systèmes
à temps discret
15.1 PRINCIPE GÉNÉRAL
Tout comme les systèmes à temps continu, les systèmes à temps discret peuvent être placés sous forme
de représentation d’état. Les deux formalismes sont très voisins et les résultats démontrés au chapitre 14
restent, pour la plupart, valables. Deux approches traditionnelles sont souvent étudiées pour aborder la représentation d’état des systèmes discrets : la discrétisation des équations d’état continues et la représentation
directe par analogie avec la représentation d’état en temps continu. C’est cette deuxième approche que nous
avons privilégiée car elle permet de généraliser très rapidement les propriétés déjà démontrées.
15.1.1 Variables d’état en temps discret
Dans la représentation d’état en temps continu, nous avons proposé des schémas fonctionnels de systèmes
ne comportant que des intégrateurs et des gains et nous avons vu qu’il était possible, à partir de tels éléments,
de reconstruire n’importe quelle fonction de transfert. En temps discret, il est possible de décomposer un
système en utilisant des gains et des opérateurs dits de décalage, de fonctions de transfert z
−1 . La figure 15.1
présente un exemple de système composé de tels éléments. On peut, dans un tel modèle, définir des variables
d’état, que nous noterons x i (k) et qui représentent, selon le formalisme développé dans la quatrième partie
de cet ouvrage, la valeur des signaux x i aux instants kT e , T e étant la période d’échantillonnage de tous les
signaux présents dans le système.
Figure 15.1 Représentation d’état en temps discret.
Remarque : Rappelons ici que l’équation X 3 (z) = z
−1 X 2 (z) se traduit, en représentation temporelle à
temps discret par la relation x 3 (k + 1) = x 2 (k). D’où la dénomination d’opérateur de décalage.