Solutions des exercices
331
On a par ailleurs :
x(0) =
0
0
Donc :
x(t) =
t
0
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
⎡
⎢
⎣
8e
−(t−t)
9
+
e
−10(t−t)
9
−
4e
−(t−t)
9
+
4e
−10(t−t)
9
−
2e
−(t−t)
9
+
2e
−10(t−t)
9
e
−(t−t)
9
+
8e
−10(t−t)
9
⎤
⎥
⎦
0
1
⎫
⎪ ⎬
⎪ ⎭
dt
Soit :
x(t) =
⎛
⎜
⎜
⎝
t
0
4e
−(t−t)
9
+
4e
−10(t−t)
9
dt
t
0
e
−(t−t)
9
+
8
9
e
−10(t−t) dt
⎞
⎟
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
−
4
10
−
4
90
e
−10t +
4
9
e
−t
2
10
−
4
45
e
−10t −
1
9
e
−t
⎞
⎟
⎠
Ces expressions ont été obtenues en écrivant les commandes suivantes à l’aide de Mathematica :
Integrate
4/9e
−10(t−tau) − 4/9e
−(t−tau) , {tau, 0, t}
Integrate
8/9e
−10(t−tau) + 1/9e
−(t−tau) , {tau, 0, t}
Comme (C) =
1 0
, on a :
s(t) = x1(t)
Soit :
s(t) = −
4
10
+
4
9
e
−t −
4
90
e
−10t
Nous retrouvons, bien évidemment, le même résultat que précédemment.