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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
soit :
(pI − [A])
−1 =
1
p 2 + 11p + 10
⎡
⎣
p + 9 −4
−2 p + 2
⎤
⎦
On a donc :
G( p) =
1
p 2 + 11p + 10
1 0
⎡
⎣
p + 9 −4
−2 p + 2
⎤
⎦
⎛
⎝
0
1
⎞
⎠
d’où :
G( p) =
1
p 2 + 11p + 10
1 0
⎛
⎝
−4
p + 2
⎞
⎠ =
−4
p 2 + 11p + 10
=
−4
(p + 1) (p + 10)
De toute évidence, les pôles de G( p) sont −1 et −10.
En injectant un échelon unité dans ce système, on obtient :
S( p) =
−4
p (p + 1) (p + 10)
d’où :
s(t) = −
4
10
1 +
10
1 − 10
e
−t −
1
1 − 10
e
−10t
= −
4
10
+
4
9
e
−t −
4
90
e
−10t
Nous pouvons retrouver ce résultat en résolvant les équations d’état à l’aide de Mathematica. Nous connaissons déjà la
forme diagonale de la matrice de commande.
Soit :
D
=
−1
0
0
−10
⇒ e [D]t =
e
−t
0
0
e
−10t
Les vecteurs propres nous sont donnés par la commande :
Eigenvectors
{{−2, −4} , {−2, −9}}
On en déduit :
[T] =
−4 1
1
2
Puis :
[T]
−1 =
⎡
⎢
⎣
−
2
9
1
9
1
9
4
9
⎤
⎥
⎦
Calculons à présent la matrice de transition :
On a :
e
[A]t =
⎡
⎢
⎣
−4 −
1
9
1
−
2
9
⎤
⎥
⎦
e
−t
0
0
e
−10t
⎡
⎢
⎣
−
2
9
−1
1
9
−4
⎤
⎥
⎦
Soit, avec Mathematica :
{{−4,1} , {1,2}} .
e
−t , 0
,
0, e
−10t
. {{−2/9,1/9} , {1/9,4/9}}
D’où :
e
[A]t =
⎡
⎢
⎣
8e
−t
9
+
e
−10t
9
−
4e
−t
9
+
4e
−10t
9
−
2e
−t
9
+
2e
−10t
9
e
−t
9
+
8e
−10t
9
⎤
⎥
⎦
La forme générale de la solution de l’équation d’état a pour expression :
x(t) = e
[A]t x(0) +
t
0
e
[A](t−t) (B) e(t)dt
Ce système étant sollicité par un échelon, on a : e(t) = 1.