Solutions des exercices
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soit :
O
([A](C)) =
⎡
⎣
0 1
1 −c
⎤
⎦ ⇒ det
O
([A](C)) = −1
Figure 14.13 Représentation d’état du système.
La matrice d’observabilité est de rang 2 étant donné que son déterminant est non nul. Le système est donc complètement
observable.
Pour étudier la commandabilité de ce système, calculons la matrice [C] ([A](B)) .
On a :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B)
Or :
[A] (B) =
⎡
⎣
−b 0
1
−c
⎤
⎦
⎛
⎝
a − b
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
b(b − a)
a − b − c
⎞
⎠
d’où :
[C] ([A](B)) =
⎡
⎣
a − b b(b − a)
1
a − b − c
⎤
⎦
et :
det [C] ([A](B)) =
a − b b(b − a)
1
a − b − c
= (a − b)(a − b − c) − b(b − a)
soit :
det [C] ([A](B)) = (a − b)(a − c)
La matrice de commandabilité est de rang 2 si et seulement si on a a = b et a = c. Si ces deux conditions sont remplies,
le système est complètement commandable.
14.10 La fonction de transfert du système a pour expression :
G( p) = (C) (pI − [A])
−1 (B)
On a :
(pI − [A]) =
⎡
⎣
p 0
0 p
⎤
⎦ −
⎡
⎣
−2 −4
−2 −9
⎤
⎦ =
⎡
⎣
p + 2
4
2
p + 9
⎤
⎦
d’où :
(pI − [A])
−1 =
1
det (pI − [A])
⎡
⎣
p + 9 −4
−2 p + 2
⎤
⎦ =
1
( p + 2)( p + 9) − 8
⎡
⎣
p + 9 −4
−2 p + 2
⎤
⎦