328
14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
et :
det [C] ([A](B)) =
0
1
1 −2jv n
= −1
La matrice de commandabilité est de rang 2 étant donné que son déterminant est non nul. Le système est donc complètement commandable.
14.8 Transformons l’expression de la fonction de transfert :
G( p) =
p + 1
p 3 + 2 p 2 + 4p + 8
=
p
−2 + p
−3
1 + 2 p −1 + 4 p −2 + 8 p −3 =
S( p)
E( p)
On a donc :
S( p) = −
2 p
−1 + 4 p
−2 + 8 p
−3
S( p) +
p
−2 + p
−3
E( p)
soit :
S( p) = −
2
1
p
+ 4
1
p
2
+ 8
1
p
3
S( p) +
1
p
2
+
1
p
3
E( p)
Cette expression nous conduit à la représentation de la figure 14.12.
Figure 14.12 Forme compagne observable du système.
Les variables d’état sont ainsi clairement identifiées et les équations d’état se lisent sur la représentation schématique.
On a donc :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˙
x1 = −8x3 + e(t)
˙
x2 = x1 − 4x3 + e(t)
˙
x3 = x2 − 2x3
s(t) = x3
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˙
x(t) =
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 −8
1 0 −4
0 1 −2
⎤
⎥
⎥
⎦ x(t) +
⎛
⎜
⎜
⎝
1
1
0
⎞
⎟
⎟
⎠ e(t)
s(t) =
0 0 1
x(t)
14.9 Recherchons, par exemple, une représentation d’état du système sous forme compagne observable pour le système de fonction de transfert G1( p) et complétons le schéma par la mise en cascade du système G2( p). A priori, deux
variables d’état suffisent pour représenter le système (figure 14.13) : les sorties des deux intégrateurs.
Les équations d’état se lisent aisément sur la représentation schématique :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
˙
x1 = −bx1 + (a − b) e(t)
˙
x2 = x1 − cx2 + e(t)
s(t) = x2
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˙
x(t) =
⎡
⎣
−b 0
1
−c
⎤
⎦ x(t) +
⎛
⎝
a − b
1
⎞
⎠ e(t)
s(t) =
0 1
x(t)
Pour étudier l’observabilité de ce système, calculons la matrice
O
([A](C)) :
O
([A](C)) =
⎡
⎣
(C)
(C) [A]
⎤
⎦ avec (C) =
0 1
et (C) [A] =
0 1
⎡
⎣
−b 0
1
−c
⎤
⎦