Solutions des exercices
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14.7 Comme pour l’exercice précédent, on a :
G( p) =
K
p 2
v
2
n
+
2jp
vn
+ 1
=
Kv
2
n
p 2 + 2jvnp + v
2
n
=
Kv
2
n p
−2
1 + 2jvn p −1 + v
2
n p
−2
=
S( p)
E( p)
En appliquant les résultats du cours, on obtient sans problème la représentation schématique de la forme compagne
commandable (figure 14.11). Les variables d’état sont ainsi clairement identifiées et les équations d’état se lisent sur la
représentation schématique.
On a donc :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
˙
x1 = x2
˙
x2 = −v
2
n x1 − 2jvnx2 + e(t)
s(t) = Kv
2
n x1
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˙
x(t) =
⎡
⎣
0
1
−v
2
n
−2jvn
⎤
⎦ x(t) +
⎛
⎝
0
1
⎞
⎠ e(t)
s(t) =
Kv
2
n
0
x(t)
Figure 14.11 Forme compagne commandable de la représentation d’état.
Pour étudier l’observabilité de cette représentation, calculons la matrice
O
([A](C)) :
O
([A](C)) =
⎡
⎣
(C)
(C) [A]
⎤
⎦ avec (C) =
Kv
2
n
0
et (C) [A] =
Kv
2
n
0
⎡
⎣
0
1
−v
2
n
−2jvn
⎤
⎦
soit :
O
([A](C)) =
⎡
⎣
Kv
2
n
0
0
Kv
2
n
⎤
⎦ ⇒ det
O
([A](C)) = K
2 v
4
n
La matrice d’observabilité est de rang 2 étant donné que son déterminant est non nul. Le système est donc complètement
observable.
Pour étudier la commandabilité de cette représentation, calculons la matrice [C] ([A](B)) :
On a :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B)
Or :
[A] (B) =
⎡
⎣
0
1
−v
2
n
−2jvn
⎤
⎦
⎛
⎝
0
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
1
−2jvn
⎞
⎠
d’où :
[C] ([A](B)) =
⎡
⎣
0
1
1 −2jvn
⎤
⎦