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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
On a donc :
S( p) = −
2jvn p
−1 + v
2
n p
−2
S( p) +
Kv
2
n p
−2
E( p)
soit :
S( p) = −
2jvn
1
p
+ v
2
n
1
p
2
S( p) +
Kv
2
n p
1
p
2
E( p)
Cette expression nous conduit à la représentation de la figure 14.10.
Figure 14.10 Forme compagne observable de la représentation d’état.
Les variables d’état sont ainsi clairement identifiées et les équations d’état se lisent sur la représentation schématique.
On a donc :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
˙
x1 = −v
2
n x2 + Kv
2
n e(t)
˙
x2 = x1 − 2jvnx2
s(t) = x2
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˙
x(t) =
⎡
⎣
0
−v
2
n
1 −2jvn
⎤
⎦ x(t) +
⎛
⎝
Kv
2
n
0
⎞
⎠ e(t)
s(t) =
0 1
x(t)
Pour étudier l’observabilité de cette représentation, calculons la matrice
O
([A](C)) :
O
([A](C)) =
⎡
⎣
(C)
(C) [A]
⎤
⎦ avec (C) =
0 1
et (C) [A] =
0 1
⎡
⎣
0 −v
2
n
1 −2jvn
⎤
⎦
soit :
O
([A](C)) =
⎡
⎣
0
1
1 −2jv n
⎤
⎦ ⇒ det
O
([A](C)) =
0
1
1 −2jv n
= −1
La matrice d’observabilité est de rang 2 étant donné que son déterminant est non nul. Le système est donc complètement
observable.
Pour étudier la commandabilité de cette représentation, calculons la matrice [C] ([A](B)) :
On a :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B)
Or :
[A] (B) =
⎡
⎣
0
−v
2
n
1 −2jvn
⎤
⎦
⎛
⎝
Kv
2
n
0
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0
Kv
2
n
⎞
⎠
d’où :
[C] ([A](B)) =
⎡
⎣
Kv
2
n
0
0
Kv
2
n
⎤
⎦ et det [C] ([A](B)) =
Kv
2
n
0
0
Kv
2
n
= K
2 v
4
n
La matrice de commandabilité est de rang 2 étant donné que son déterminant est non nul. Le système est donc complètement commandable.