Solutions des exercices
325
Par conséquent :
[W]
−1 =
1
det [W]
⎡
⎢
⎢
⎣
16
1 − e
−t/4
−
16
5
1 − e
−5t/8
−
16
5
1 − e
−5t/8
1 − e
−t
⎤
⎥
⎥
⎦
Pour t = 2 s, on a :
det [W] =
0,865 −2,283
−2,283
6,296
= 0,234
et :
[W]
−1 =
⎡
⎣
26,91 −9,76
−9,76
3,70
⎤
⎦
Comme :
e(t) = (B)
T e
[A]
T (t−t) [W]
−1
x(t) − e
[A]t x(0)
on a ici :
e(t) =
1 2
⎡
⎣
e
−(2−t)/2
0
0
e
−(2−t)/8
⎤
⎦
⎡
⎣
26,91 −9,76
−9,76
3,70
⎤
⎦
⎛
⎝
2
1
⎞
⎠
soit :
e(t) =
1 2
⎛
⎝
44,06 e
−(2−t)/2
−15,82 e
−(2−t)/8
⎞
⎠
d’où :
e(t) = 44,06 e
(t−2)/2 −31,64 e
(t−2)/8
On peut sans peine vérifier que ce signal de commande amène bien le système dans l’état désiré au bout d’un temps
t = 2 s. La forme générale de la solution de l’équation d’état a pour expression :
x(t) = e
[A]t x(0) +
t
0
e
[A](t−t) (B) e(t) dt
On a ici :
x(2) =
2
0
⎡
⎣
e
−(2−t)/2
0
0
e
−(2−t)/8
⎤
⎦
⎛
⎝
1
2
⎞
⎠
44,06 e
(t−2)/2 −31,64 e
(t−2)/8
dt
soit :
x(2) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2
0
e
(t−2)/2
44,06 e
(t−2)/2 −31,64 e
(t−2)/8
dt
2
0
2 e
−(2−t)/8
44,06 e
(t−2)/2 −31,64 e
(t−2)/8
dt
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
En utilisant Mathematica, les commandes :
Integrate
44,06e
t−2 − 31,64e
5(t−2)/8 , {t, 0,2}
et Integrate
88,12e
5(t−2)/8 − 63,28e
(t−2)/4 , {t, 0,2}
nous donnent respectivement 1,97715 et 1,00216.
Soit :
x(2) ≈
2
1
14.6 Transformons l’expression de la fonction de transfert comme cela est suggéré dans le cours :
G( p) =
K
p
2
v
2
n
+
2jp
vn
+ 1
=
Kv
2
n
p 2 + 2jvnp + v
2
n
=
Kv
2
n p
−2
1 + 2jvn p −1 + v
2
n p
−2
=
S( p)
E( p)