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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
d’où :
[C] ([A](B)) =
⎡
⎣
1
3
1 a + 1
⎤
⎦
et :
det [C] ([A](B)) =
1
3
1 a + 1
= a − 2
Le système est donc complètement commandable si et seulement si a = 2.
14.4 La paire [A] , (C) est complètement observable si et seulement si la matrice d’observabilité est régulière, autrement dit si son déterminant n’est pas nul.
On a :
O
([A](C)) =
⎡
⎣
(C)
(C) [A]
⎤
⎦
avec :
(C) =
1 −2
et (C) [A] =
1 −2
⎡
⎣
a −1
2
1
⎤
⎦ =
a − 4 −3
Soit :
O
([A](C)) =
⎡
⎣
1
−2
a − 4 −3
⎤
⎦ ⇒ det
O
([A](C)) =
1
−2
a − 4 −3
= −11 + 2a
Le système est donc complètement observable si et seulement si a =
11
2
.
14.5 Le signal de commande recherché a pour expression :
e(t) = (B)
T e
[A]
T (t−t) [W]
−1
x(t) − e
[A]t x(0)
avec :
[W] =
t
0
e
[A]t (B) (B)
T e
[A]
T t dt
Comme [A] est une matrice diagonale, sa transposée lui est égale.
On a donc :
e
[A]t = e
[A]
T t =
⎡
⎣
e
−t/2
0
0
e
−t/8
⎤
⎦
d’où :
[W] =
t
0
⎡
⎣
e
−t/2
0
0
e
−t/8
⎤
⎦
⎛
⎝
1
2
⎞
⎠
1 2
⎡
⎣
e
−t/2
0
0
e
−t/8
⎤
⎦ dt
soit :
[W] =
t
0
⎛
⎝
e
−t/2
2 e
−t/8
⎞
⎠
1 2
⎡
⎣
e
−t/2
0
0
e
−t/8
⎤
⎦ dt
[W] =
t
0
⎡
⎣
e
−t/2
2 e
−t/2
2 e
−t/8
4 e
−t/8
⎤
⎦
⎡
⎣
e
−t/2
0
0
e
−t/8
⎤
⎦ dt =
t
0
⎡
⎣
e
−t
2 e
−5t/8
2 e
−5t/8
4 e
−t/4
⎤
⎦ dt
d’où :
[W] =
t
0
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
− e
−t t
0
−
16 e
−5t/8
5
t
0
−
16 e
−5t/8
5
t
0
−16 e
−t/4
t
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
dt =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 − e
−t
16
5
1 − e
−5t/8
16
5
1 − e
−5t/8
16
1 − e
−t/4
⎤
⎥
⎥
⎦