Solutions des exercices
323
Ce qui s’écrit, avec Mathematica :
1 +
√
7
3
,
1 −
√
7
3
, {1,1}
.
e
−
√
7t , 0
,
0, e
√
7t
.
3
√
7
14
,
7 −
√
7
14
,
−
3
√
7
14
,
7 +
√
7
14
Le résultat est immédiat :
e
[A]t =
⎡
⎢
⎣
7 +
√
7
14
e
−
√
7t +
7 −
√
7
14
e
√
7t
−
√
7
7
e
−
√
7t +
√
7
7
e
√
7t
3
√
7
14
e
−
√
7t −
3
√
7
14
e
√
7t
7 −
√
7
14
e
−
√
7t +
7 +
√
7
14
e
√
7t
⎤
⎥
⎦
14.2 Il est facile de vérifier que la matrice de commande est nilpotente.
En effet :
[A]
2 =
⎡
⎣
−1 −1
1
1
⎤
⎦
⎡
⎣
−1 −1
1
1
⎤
⎦ =
⎡
⎣
0 0
0 0
⎤
⎦
Par conséquent :
[A]
n =
⎡
⎣
0 0
0 0
⎤
⎦ , ∀n 2
On a donc : e
[A]t =
I + [A] t + · · · +
[A]
n
n!
t
n + · · ·
=
⎛
⎝
1 0
0 1
⎞
⎠ +
⎛
⎝
−t −t
t
t
⎞
⎠ =
⎛
⎝
1 − t −t
t
1 + t
⎞
⎠
La forme générale de la solution de l’équation d’état a pour expression :
x(t) = e
[A]t x(0) +
t
0
e
[A](t−t) (B) e(t) dt
Ce système étant sollicité par un échelon, on a : e(t) = 1.
On a par ailleurs :
x(0) =
⎛
⎝
−1
1
⎞
⎠
donc :
x(t) =
⎛
⎝
1 − t −t
t
1 + t
⎞
⎠
⎛
⎝
−1
1
⎞
⎠ +
t
0
⎧
⎨
⎩
⎡
⎣
1 − (t − t) − (t − t)
(t − t)
1 + (t − t)
⎤
⎦
⎛
⎝
2
−1
⎞
⎠
⎫
⎬
⎭
dt
soit :
x(t) =
⎛
⎝
−1
1
⎞
⎠ +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
t
0
(2 − t + t) dt
t
0
(t − t − 1) dt
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎝
−1
1
⎞
⎠ +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2t − tt +
t
2
2
t
0
tt −
t
2
2
− t
t
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
−1 + 2t −
t
2
2
1 − t +
t
2
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
14.3 La paire [A] , (B) est complètement commandable si et seulement si la matrice de commandabilité est régulière,
autrement dit si son déterminant n’est pas nul.
La matrice de commandabilité est formée de deux vecteurs :
[C] ([A](B)) =
(B) [A] (B)
Or :
[A] (B) =
⎡
⎣
1 2
a 1
⎤
⎦
⎛
⎝
1
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
3
a + 1
⎞
⎠