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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
14.9 Observabilité et commandabilité d’un système série
On considère un système constitué de la mise en cascade de deux éléments possédant respectivement les
fonctions de transfert :
G 1 ( p) =
p + a
p + b
et G 2 ( p) =
1
p + c
Discuter de l’observabilité et de la commandabilité de ce système.
14.10 Détermination d’une fonction de transfert à partir des équations d’état
Déterminer la fonction de transfert du système défini par ses équations d’état :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t)
s(t) = (C) x(t)
avec [A] =
−2 −4
−2 −9
, (B) =
0
1
et (C) =
1 0
Calculer les pôles de la fonction de transfert et en déduire l’expression de sa sortie en réponse à un échelon
unité. Vérifier ce résultat en résolvant les équations d’état. On supposera que l’état initial du système est
caractérisé par un vecteur d’état nul.
SOLUTIONS
14.1 Résolution à l’aide de Mathematica
La commande Eigenvalues
{{−1, −2} , {−3,1}}
fournit immédiatement les valeurs propres de la matrice [A], soit
−
√
7, −
√
7
. La matrice
D
est donc connue :
D
=
−
√
7
0
0
√
7
La commande Eigenvectors
{{−1, −2} , {−3,1}}
fournit les deux vecteurs propres sous la forme
1 +
√
7
3
, 1
,
1 −
√
7
3
, 1
D’où : [T] =
⎡
⎣
1 +
√
7
3
1 −
√
7
3
1
1
⎤
⎦ .
La commande Inverse
1 +
√
7
3
,
1 −
√
7
3
, {1,1}
donne l’expression de la matrice [T]
−1 , soit :
3
√
7
14
,
7 −
√
7
14
,
−
3
√
7
14
,
7 +
√
7
14
Il reste enfin à effectuer le produit des trois matrices pour obtenir la matrice de transition :
e
[A]t = [T] e [D]t [T]
−1 =
⎡
⎣
1 +
√
7
3
1 −
√
7
3
1
1
⎤
⎦ ·
e
−
√
7t
0
0
e
√
7t
·
⎡
⎢
⎣
3
√
7
14
7 −
√
7
14
−
3
√
7
14
7 +
√
7
14
⎤
⎥
⎦