Solutions des exercices
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1.7 La fonction de transfert du système se détermine aisément en appliquant la transformation de Laplace aux deux
membres de l’équation :
TpS( p) + S( p) = KE( p)
G( p) =
S( p)
E( p)
=
K
Tp + 1
Nous en déduisons immédiatement l’expression de S( p) :
E( p) =
1
p
⇒ S( p) =
K
Tp + 1
·
1
p
=
K
p(Tp + 1)
Le théorème de la valeur finale prévoit que :
lim
t→+∞
s(t) = lim
p→0
pS( p) = lim
p→0
pK
p(Tp + 1)
= K
Calculons l’expression de s(t) afin de retrouver le résultat précédent. D’après la table :
S( p) =
K
p(Tp + 1)
⇒ s(t) = K
1 − e
−
t
T
On a bien lim
t→+∞
s(t) = K.
L’expression du signal de sortie nous conduit alors à la valeur t0 de t, pour laquelle s(t) atteint 95 % de sa valeur finale.
On a :
K
1 − e
−
t 0
T
= 0, 95K
Soit :
1 − e
−
t 0
T = 0, 95
t0
T
= − ln 0, 05 ≈ 3T
1.8 La fonction de transfert du système se détermine en appliquant la transformation de Laplace aux deux membres
de l’équation :
G( p) =
S( p)
E( p)
=
1
p 2 + 3p + 2
=
1
( p + 1)( p + 2)
Par ailleurs, l’entrée de ce système est une rampe e(t) = t. D’où : E( p) =
1
p 2
On tire donc immédiatement :
S( p) = G( p)E( p) =
1
p 2 ( p + 1)( p + 2)
➤ Résolution avec Mathematica
La plupart des logiciels de calcul formel disposent de la fonctionnalité de transformation inverse de Laplace.
La commande : InverseLaplaceTransform
1/(p
2 (p + 1)(p + 2)), p, t
nous donne immédiatement :
s(t) =
−
3
4
+
t
2
+ e
−t −
e
−2t
4
u(t)