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1 • Modélisation des systèmes linéaires. Notion de fonction de transfert
Par ailleurs, à la lecture de la table, la fonction temporelle cos vt possède pour transformée de Laplace
p
p 2 + v 2 .
On a donc :
F2( p) =
p
2( p 2 + 4v 2 )
En conclusion :
F( p) = F1( p) + F2( p) =
1
2p
+
p
2( p 2 + 4v 2 )
1.5 Factorisons tout d’abord le dénominateur de l’expression de F( p) :
F( p) =
3
p 3 + 5 p 2 + 6p
=
3
p( p + 3)( p + 2)
La décomposition de cette fraction rationnelle nous donne :
F( p) =
3
p( p + 3)( p + 2)
=
A
p
+
B
p + 3
+
C
p + 2
=
A( p
2 + 5p + 6) + B( p
2 + 2p) + C( p
2 + 3p)
p( p + 3)( p + 2)
Soit :
F( p) =
3
p( p + 3)( p + 2)
=
(A + B + C) p
2 + (5A + 2B + 3C)p + 6A
p( p + 3)( p + 2)
En identifiant, on tire immédiatement :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
A + B + C = 0
5A + 2B + 3C = 0
A =
1
2
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
A =
1
2
B = 1
C = −
3
2
d’où :
F( p) =
1
2p
+
1
p + 3
−
3
2( p + 2)
Il suffit à présent de rechercher dans la table des transformées de Laplace les fonctions temporelles originales des trois
termes simples qui constituent cette combinaison et d’écrire f (t) comme étant la même combinaison des trois fonctions
temporelles originales :
f (t) =
1
2
+ e
−3t −
3
2
e
−2t
u(t)
➤ Résolution avec Mathematica
La commande : InverseLaplaceTransform
3/(p(p + 3)(p + 2)), p, t
nous donne immédiatement :
1
2
+ e
−3t −
3e
−2t
2
1.6 Appliquons la transformée de Laplace aux deux membres de l’équation :
p
3 S( p) + 3 p
2 S( p) + 3pS( p) + S( p) = 2pE( p) + E( p)
D’où : S( p)
p
3 + 3 p
2 + 3p + 1
= [2p + 1] E( p)
Soit : G( p) =
S( p)
E( p)
=
2p + 1
p 3 + 3 p 2 + 3p + 1
Nous remarquons que le dénominateur se factorise (identité remarquable).
D’où : G( p) =
S( p)
E( p)
=
2p + 1
( p + 1) 3
La fonction de transfert possède donc un seul zéro
−
1
2
et un pôle triple (−1).