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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
La fonction de transfert du système est donc :
G( p) =
S( p)
E( p)
= (C) (pI − [A])
−1 (B)
L’inverse d’une matrice carrée étant égale à sa matrice adjointe divisée par son déterminant, nous pouvons
en déduire que les pôles de la fonction de transfert sont les valeurs de p qui sont solutions de l’équation :
det (pI − [A]) = 0
Ce sont donc les valeurs propres de la matrice [A].
Attention : Pour pouvoir obtenir une fonction de transfert modélisant le fonctionnement réel du système, celui-ci doit être commandable et observable. Dans le cas contraire, la fonction de transfert
obtenue correspond uniquement à sa partie commandable et observable.
EXERCICES
14.1 Calcul de la matrice de transition d’un système d’ordre 2
On considère un système régi par l’équation d’état :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t) avec [A] =
−1 −2
−3
1
Déterminer l’expression de la matrice de transition de ce système.
14.2 Détermination de l’état d’un système en réponse à un échelon unité
On considère un système régi par l’équation d’état :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t) avec [A] =
−1 −1
1
1
et (B) =
2
−1
On suppose qu’à l’instant t = 0, le système se trouve dans l’état x(0) =
−1
1
.
Ce système étant soumis à une entrée en échelon unité, déterminer à tout instant t l’expression x(t) de son
vecteur d’état.
On pourra remarquer que la matrice de commande est nilpotente et choisir la méthode de calcul direct de la
matrice de transition.
14.3 Commandabilité d’un système invariant d’ordre 2
On considère un système régi par l’équation d’état :
˙
x(t) = [A] x(t) + (B) e(t) avec [A] =
1 2
a 1
et (B) =
1
1
Déterminer la condition sur le paramètre a pour que ce système soit complètement commandable.