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14 • Représentation d’état des systèmes à temps continu
d) Représentation compagne observable
Plus simple à appréhender, la représentation compagne observable peut être mise en évidence à partir de la
forme de G( p) déjà transformée dans le paragraphe précédent :
G( p) =
b m p
m−n + b m−1 p
m−n−1 + · · · + b 1 p
−n+1 + b 0 p
−n
1 + a n−1 p −1 + · · · + a 1 p −n+1 + a 0 p −n
On peut alors écrire :
S( p) = −
a n−1 p
−1 + · · · + a 0 p
−n
S( p) +
b m p
m−n + · · · + b 0 p
−n
E( p)
soit :
S( p) = −
a n−1
1
p
+ · · · + a 0
1
p
n
S( p) +
b m
1
p
n−m
+ · · · + b 0
1
p
n
E( p)
On peut alors proposer la représentation d’état de la figure 14.9.
Figure 14.9 Représentation d’état du système sous forme compagne observable.
Les équations d’état se déduisent naturellement de cette représentation :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˙
x 1 = −a 0 x n + b 0 e(t)
˙
x 2 = x 1 − a 1 x n + b 1 e(t)
. . .
˙
x m+1 = x m − a m x n + b m e(t)
. . .
˙
x n = x n−1 − a n−1 x n
s(t) = x n